«Методические рекомендации к изучению курса «евклидово пространство»» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Глава 1. АКСОНОМЕТРИЯ 5

1.1. Позиционные задачи. Полные и неполные изображения 5

1.2. Метрические задачи. Метрически определенные изображения 9

1.3. Изображение плоских фигур 11

1.3.1. Изображение окружности 12

1.3.2. Изображение взаимно-перпендикулярных диаметров и касательной к окружности 14

1.3.3. Изображение правильного шестиугольника, вписанного в окружность 15

1.3.4. Изображение прямой перпендикулярной плоскости, содержащей окружность 16

1.4. Изображение пространственных фигур 18

1.4.1. Порядок изображения правильной пирамиды 19

1.4.2. Порядок изображения усеченной пирамиды 20

1.4.3. Изображение конуса 20

1.4.4. Изображение цилиндра 21

1.4.5. Изображение сферы 22

Глава 2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И КВАДРИКИ 36

2.1. Аксиоматический метод построения геометрии 36

2.2. Векторное пространство 36

2.2.1. Симметрическая билинейная форма (СБФ) в 38

2.2.2. Квадратичная форма в 39

2.2.3. Канонический вид квадратичной формы в 40

2.2.4. Нормальный вид квадратичной формы в 42

2.3. Евклидово векторное пространство 44

2.3.1. Некоторые свойства симметрического линейного оператора (СЛО) 46

2.3.2. Квадратичные формы в пространстве 49

2.4. Аффинное пространство 54

2.4.1. Преобразования координат 54

2.4.2. k - плоскость в 55

2.4.3. k – плоскость как аффинное пространство 56

2.4.4. Параметрические уравнения k – плоскости 57

2.4.5. Общие уравнения k – плоскости 57

2.4.6. Закон инерции квадратичных форм 58

2.4.7. Положительно определенные квадратичные формы 59

2.4.8. Определение квадрики в 60

2.4.9. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду в 60

2.4.10. Классификация квадрик в 63

2.4.11. Классификация квадрик в 63

2.4.12. Классификация квадрик в 65

2.5. Евклидово пространство 71

2.5.1. Квадрики в пространстве 72

2.5.2. Классификация квадрик в 73

Заключение 90

Литература 91

Введение

Выпускная квалификационная работа посвящена разработке методического пособия к изучению курса «Евклидово пространство».

В условиях высокого уровня развития науки и техники особые требования предъявляются к подготовке студентов в ВУЗах. Задача образования не может сводиться только к вооружению студентов определённой суммой знаний. Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретёнными знаниями, применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения, находить решения в нестандартных условиях.

Актуальность исследования обусловлена тем, что необходима учебно-методическая литература нового поколения, удовлетворяющая ФГОС 3.

Данные методические рекомендации предназначены для студентов 1 курса физико-математического факультета направления «Педагогическое образование» и могут быть использованы для самостоятельной работы студентов, при подготовке к практическим занятиям, при подготовке к курсовой работе, зачету, экзамену. Данная работа будет полезна преподавателям для организации самостоятельной работы студентов, проверки их практических и теоретических знаний.

Целью работы является создание методического пособия к изучению курса «Евклидово пространство».

Задачи выпускной квалификационной работы:

1) подобрать учебно-методическую литературу по выбранной теме исследования;

2) разбить выбранный теоретический материал по главам, а главы по параграфам;

3) к каждому параграфу подробно решить ключевые задачи и подобрать задачи для самостоятельного решения;

4) к каждому параграфу составить вопросы для проверки теоретических знаний;

5) к каждой главе составить тесты для проверки практических и теоретических знаний.

Работа состоит из двух глав. Глава первая «Аксонометрия» посвящена методам изображений плоских и пространственных фигур, а также построению сечений многогранников. Она состоит из 4 параграфов. Во второй главе «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» рассматриваются такие вопросы как аксиоматический метод построения геометрии; векторное, евклидово векторное, аффинное и евклидово n – мерные пространства; квадратичные формы и квадрики; классификации квадрик. Она состоит из 5 параграфов. Заканчивается работа заключением и списком литературы.

В будущем при работе с данным пособием студентам рекомендуется сначала рассмотреть теоретический материал в каждом параграфе, обращая внимание на приведенные в конце параграфа вопросы; разобрать решенные ключевые задачи; затем приступить к самостоятельному решению предложенных задач; и в конце проверить свои практические и теоретические знания, ответив на тестовые задания.

Выдержка из текста работы

Глава 1. АКСОНОМЕТРИЯ

1.1. Позиционные задачи. Полные и неполные изображения

Пусть - изображение аффинного репера пространства, а , , и - изображения данной точки и ее проекций , и на координатные плоскости по направлениям соответствующих координатных осей (рис. 1). Точку называют аксонометрической проекцией точки , а точки , и - вторичными проекциями этой точки. [2]

Рис.1

Возьмём в евклидовом пространстве некоторую плоскость и какой-нибудь ненулевой вектор , не параллельный этой плоскости. Пусть - произвольная точка пространства. Проведем через эту точку прямую, параллельную вектору , и обозначим через точку, в которой эта прямая пересекает плоскость (рис. 2). Точка называется проекцией точки на плоскость при проектировании параллельно вектору . [2]

Рис.2

Позиционная задача состоит в следующем:

Даны изображения двух фигур. Нужно построить изображения пересечения этих фигур.

Изображение фигуры называется полным, если к нему можно присоединить изображение аффинного репера так, что все точки, прямые и плоскости, определяющие данную фигуру, являются заданными.

Позиционная задача на полном изображении решается однозначно (не допускается произвол в изображении), так как каждому построению на плоскости изображений однозначно соответствует определенное построение в пространстве.

Если изображение неполное, то сначала его нужно пополнить, а затем решать на полном изображении.

Изображение плоской фигуры всегда полное. Действительно, если фигура расположена в одной плоскости, то мы всегда можем принять эту плоскость за координатную плоскость . В оригинале точка совпадает с точкой (рис.3), а на изображении точка совпадает с точкой (рис.4).

В этом случае аксонометрическая проекция точки совпадает со вторичной аксонометрической проекцией . Это означает, что изображение будет полным. [2]

Вопросы

1. какое изображение фигуры называется полным?

2. какая проекция называется аксонометрической?

3. какая точка называется проекцией точки?

4. когда изображение плоской фигуры является полным?

Упражнения

Построить изображение сечения:

1. треугольной призмы плоскостью, проходящей через 3 точки, лежащие по одной в боковых гранях.

Решение

Дано: - изображение призмы ,

- изображения точек .

Построить: изображение

Задача позиционная. Докажем, что изображение полное.

║ ,

║ ,

║ ,

Аффинный репер - изобр.

лежат в координатных плоскостях, следовательно, для каждой из этих точек аксонометрическая проекция совпадает с одной из вторичных аксонометрических проекций, то есть эти точки заданы на изображении.

Вывод: изображение полное.

Следовательно, наша позиционная задача будет решаться однозначно, то есть произвол в построении недопустим.

Строить сечение будем методом следа. Следом одной плоскости на другой называется линия пересечения этих плоскостей.

Заключение

В процессе выполнения выпускной квалификационной работы была подобрана учебно-методическая литература, включающая 10 источников, и подробно изучен теоретический материал по темам: аксонометрия, многомерные пространства, квадратичные формы и квадрики. Теоретический материал был разбит на главы, а главы делятся на параграфы. К каждому параграфу были подробно решены ключевые задачи, а также предложены задачи для самостоятельного решения. После каждого параграфа приведены вопросы для проверки теоретических знаний. После каждой главы приведены тесты для проверки практических и теоретических знаний студентов, в общей сложности составлено 140 тестовых заданий. В работе содержится 39 чертежей и 4 таблицы.

Работа состоит из двух глав. Глава первая «Аксонометрия» посвящена методам изображений плоских и пространственных фигур, а также построению сечений многогранников. Она состоит из 4 параграфов. Во второй главе «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики» рассматриваются такие вопросы как аксиоматический метод построения геометрии; векторное, евклидово векторное, аффинное и евклидово n – мерные пространства; квадратичные формы и квадрики; классификации квадрик. Она состоит из 5 параграфов.

В будущем при работе с данным пособием студентам рекомендуется сначала рассмотреть теоретический материал в каждом параграфе, обращая внимание на приведенные в конце параграфа вопросы; разобрать решенные ключевые задачи; затем приступить к самостоятельному решению предложенных задач; и в конце проверить свои практические и теоретические знания, ответив на тестовые задания.

Список литературы

1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1986. – 336с., ил.

2. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1987. – 352с., ил.

3. Атанасян Л. С., Атанасян В. А., Сборник задач по геометрии. Ч. I. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1973. – 256с., ил.

4. Атанасян Л. С., Васильева М. В., Сборник задач по геометрии. Ч. II. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1975. – 176с., ил.

5. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Сборник задач по геометрии. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1980. – 238с., ил.

6. Аргунов Б. И., Парнасский И. В., Парнасская О. Е., Цаленко М. М., Задачник – практикум по геометрии. Ч. III. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1979. – 112с.

7. Парнасский И. В., Парнасская О. Е., Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. Учебное пособие по геометрии для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1978. – 127с., ил.

8. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. вузов. – М.: КНОРУС, 2011. – 400с.

9. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. II. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. вузов. – М.: КНОРУС, 2011. – 424с.

10. Ардуванова Ф. Ф., Мазанова Г. А. Тесты по стереометрии: Учебное пособие/ Башкирский институт развития образования. – Уфа, 2003. – 50с.