«Научная рациональность в математике: исторический аспект»

«Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов, и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащихся в определении и не вытекающих из него. Он иногда бывает, похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить кегли руками, но который имеет право сбивать их только издали катящимися по земле шарами, то есть, соблюдая все правила игры»[18].

Но, надо отметить, что математика была первой наукой, которая соответствовала принципам научной рациональности, если рассматривать научную рациональность как взаимное дополнение нормативно-критериальной и нормативно-рефликсивной систем. Именно в математике (не считая, конечно, рациональную философию), развивалась критическая рефлексия, принцип рационального критицизма. Ни математика, ни философия не следовали принципу tatha gata (так дано), характерному для мифологическо-религиозного способа познания. Собственно, генезис математики и философии, -это не развитие мифологическо-религиозного знания, а его принципиальное методологическое отрицание.

Для того, чтобы ответить на вопрос о научной рациональности в математике, необходимо рассмотреть её историческое развитие. Особенности исторического развития математики позволяют выявить её природу в исторической ретроспективе, специфические особенности научной рациональности в ней (конечно, в случае выявления её наличия в математике).

Однако, одного исторического исследования развития математики для ответа на вопрос о её природе, особенностях научной рациональности явно недостаточно.

Необходимо провести концептуальный философский анализ математики, её оснований. В отношении природы математики существовали разные философские концепции, которые все, по своей сути, сводятся или к платоническому, или аристотелевскому подходу к математике. То есть, или математические структуры – это неизменная основа бытия, существующая реально, или это - структурные соотношения объектов бытия. То есть, форма объекта бытия (форма), структурирующая «хаосную» основу, - материю (аристотелевский подход).

В философии математики, как раздела философии науки, ХХ век характеризовался соперничеством трёх основных программ обоснования математики: интуиционизма, логицизма, формализма. И на сегодняшний день проблема обоснования математики не является решённой. Но на основании тех исследований в философии математики, которые были проведены, уже можно сделать вывод о научной рациональности в математике и её особенностях. Собственно, об этом и пойдёт речь в данном реферате. Автор рассматривает существующие взгляды на научную рациональность математике в аспекте их исторического и современного философского осмысления, с целью ответа на два существенных вопроса: есть ли в математике научная рациональность, то есть, является ли она наукой, какие специфические особенности научной рациональности характерны для математики, как науки?

Решение данных вопросов важно в следующих аспектах. Развитие любой рациональной области знания, зависит от специфики рациональности в данной области. Для научного знания характерны наиболее общие особенности научной рациональности (усиленной рациональности), от которых зависит специфика развития науки в целом. Определение особенностей научной рациональности в конкретной науке (а это, не только частнонаучные методы) позволяет выявить специфику её развития, а, значит, выявить соответствующие тенденции.

Если математика – это наука, значит, для неё присущи общенаучные особенности научной рациональности. Если математика – не наука, значит, для неё необходимо выявить то класс областей научного знания, к которым она относится, а, значит, и, соответствующие особенности рациональности.

Конечно, математика – это рациональное знание, но весь вопрос заключается в том, относится ли рациональность в математике к научной рациональности.

Эти вопросы и являются основой для исследования. Но так как, провести подробное исследование данных вопросов в рамках реферативной работы, не предоставляется возможным, то задача сводится к обзору основных философских исследований в данной области, их анализу. Подобный анализ, несмотря на достаточное количество философских исследований по данному вопросу, является достаточно актуальным на сегодняшний момент, особенно, учитывая изменение математики, связанные с развитием концепций информации, как наиболее предельной структуры бытия.

Объект исследования – научная рациональность в математике.

Предмет исследования – процессы развития научной рациональности математике в её филогенезе.

Цель исследования – это анализ основных этапов развития математики, как науки и основных философских концепций по вопросу её оснований. математике.

Задачи исследования:

• провести обзор основных философских концепций по проблемам научной рациональности и рациональности в целом;

• проанализировать развитие научной рациональности в математике в историческом аспекте;

• рассмотреть основные современные концепции в области оснований математики.

Теоретическая основа исследования- это работы современных зарубежных и российских философов, в области истории математики и её философских оснований.

Согласно системной логики и задачам, исследование состоит из трёх глав, заключения, библиографического списка.

В рамках первой главы делается обзор основных философских концепций в области рациональности и научной рациональности.

Во второй главе рассматриваются основные этапы развития математики в философском аспекте.

В третьей главе делается обзор основных современных философских концепций в области природы математики, ей оснований.

В настоящее время идёт активное развитие данного типа научной рациональности. Формализация проникает во многие науки, которые раньше обходились без формализации.

Возможно, что постоянное расширение пределов математики приведёт её к слиянию с теми знаниями о формальных структурах, которые есть в науке о языке (особенно, с учётом бурного развития формализованных языков). В таком случае можно говорить не о математике в классическом понимании, а о науке, изучающей любые формы и структуры. Что это будет за наука, трудно сказать. Но научное знание уже не может ограничиваться программой познания природы при помощи разума и опыта, а выходит опять на познание чистого разума, ибо в нём заложены все возможные формы.

Таким образом, математика обладает бесконечным потенциалом развития, вечно удаляющимся горизонтом истины. Необходимо отметить, что особенность научной рациональности заключается в её предмете: идеальных структурах. В связи с этим, математика характеризуется полным отсутствием эмпирического уровня познания, и, в то же время, благодаря её стремлению к точности и строгости, она вынуждена через формализацию ограничивать свои теории в полноте. Тем самым, создавая возможность логического опровержения, но опровержения не в рамках теории, а при выходе за её пределы, при расширении математического знания.

Математические теории развиваются согласно принципу, характерному для всех наук. В рамках созданной теории об определённого рода структуре идёт развитие алгоритмов, то есть, образцов решения возможных задач в рамках данной структуры.

Но рано или поздно, теория исчерпывает себя в своей полноте, и создаётся новая теория. Но отличительная особенность математических теорий включает в себя прошлую теории. То есть, она дополняется новыми понятиями, включающими в свой объём понятия предыдущей теории. Подобное возможно только в математике, но никак не в естественных науках, где смена модели (часто математической), полностью рушит картину предмета изучения. Как раз математика, расширяя свои теории, рушит теоретические модели естествознания. Математика может изучать бесконечное множество возможных форм и структур. Но стоит наложить новую форму на естественнонаучный опыт, как полностью меняется картина изучаемого предмета.

Математика «черпает» свои знания в актуально бесконечном, в чистом разуме, а любые естественные науки ограниченны эмпирическим опытом, средствами измерения. Поэтому, на наш взгляд, математику, да и другие науки о чистых формах, можно считать «over science» по отношению к естественным и социальным наукам. Это свидетельствует о более объёмной предметности математики. Данные науки (теория языка, логика, теория информации и др.) обладают своей научной рациональностью. Возможно, что в математике научной рациональности больше, чем в естественных науках. Хотя нельзя и отрицать наличие иррациональности в базовых понятиях математики.

Учитывая современное понимание неклассической науки, создаётся впечатление, что естественные науки запутались в «виртуальных мирах», точнее в противоречащих моделях природы. В математике же любое противоречие, даёт возможность расширения, а не смены теории. Можно сказать, что в математике, теории с противоречивыми аксиомами дополняют друг друга, создавая картину о бесконечности разума в своих возможностях.

Может быть, стоит, вернуться к мнению Канта, который говорил, что, именно, математика обладает достоверной очевидностью. Ибо все, что исходит из разума, может быть разумом и понято. А вот, природа как раз скрыта для нас. И попытки открыть «скрытую» суть природу, не приведут ли нас к платоновскому, мюону, хаосу. Нет ничего более рационального, чем категории разума. Кант ошибался лишь в одном, разум не ограничен в категориях рассудка, а актуально бесконечен. Как раз математика открывает разуму самого себя.

7. Колмогоров А.Н. Математика//Колмогоров А.Н. Математика в историческом развитии. – М.: Наука. 1991. – 423 с. 2000 экз.

8. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. – М.: Наука 1967. – 124. 500 экз.

9. Лакатос И. Бесконечный регресс и обоснования математики//Современная философия науки. – М.: Наука. 1990. – 98. 500 экз.

10. Парадоксальная рациональность (очерки о научной рациональности). – М.: УРАО. 1999. – 247. 500 экз.

11. Платон. Тимей//Соч. в 4 т. – М.: Гардарики. 2003. Т.3. – 543. 2000 экз.

12. Поппер К. Реализм и цель науки//Современная философия науки: знание, рациональность, ценности в трудах мыслителей Запада.– М.: Высшая школа. 1996. – 542 с. 1000 экз.

13. Рассел Б. Введение в математическую философию. - Новосибирск.: 1998. – 126. 500 экз.

14. Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук/Под ред. проф. Миронова В.В. – М.: Гардарики. 2006. – 639 с. 3000 экз.

15. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. – М.: Наука. 1971. Т.2. – 407. 2000 экз.

16. Философия науки/Под ред. Лебедева С. А. – М.: Академический проект. 2006. – 736. 3000 экз.

17. Фройденталь Г. Математика понятий математика алгоритмов//Математика. Хрестоматия по истории, методологии, дидактике. – М.: УРАО, 2001. – 384 с. 3000 экз.

18. Яновская С.А. Содержательная истинность и формально-логическая доказуемость в математике. – М.: МГУ. 1973. – 102 с. 500 экз.