«Построение оптимальной стратегии управления для фирмы»

Математические методы в экономике играют возрастающую с каждым десятилетием роль, а реализация возникающих при этом математических моделей и получение практически важных результатов невозможны без ЭВМ. Математический аппарат, разработанный применительно к проблемам микроэкономики, получил в настоящее время всеобщее признание. Без таких концепций математической экономики, как производственные функции, предельные значения, экстремумы – максимальные и минимальные значения – и другое, невозможно успешно построить экономико-математические модели, имеющие своим назначением служить вспомогательным орудием народнохозяйственного планирования[3].

Управляемые объекты прочно вошли в нашу повседневную жизнь и стали обиходными, обыденными явлениями. Общим во всех явлениях является то, что мы можем «управлять» объектом, можем в той или иной степени влиять на его поведение. Поэтому необходимо выбрать такой путь, который с определённой точки зрения окажется наиболее выгодным. Это и есть задача об оптимальном управлении, которой и посвящена данная работа.

2.1 Содержательная постановка задачи

Сформулируем задачу исследования в математических терминах. Задано некоторое множество функций времени, называемое множеством управления. Задача состоит в выборе управляющих параметров как функций времени, принадлежащих множеству управлений. Выбранные функции в свою очередь определяют, какой вид имеют функции времени некоторых других переменных, с помощью которых описывается поведение системы. Эти переменные называются фазовыми координатами. Значение фазовых координат в каждый момент времени выбирается таким образом, чтобы максимизировать заданный целевой функционал, зависящий от фазовых координат и управляющих параметров.

При строгой формулировке задачи управления используются следующие понятия: время (момент времени), фазовые координаты, управляющие параметры, уравнения движения, определение конечного момента, целевой функционал.

Время t измеряется как непрерывная величина. Предполагается, что t изменяется в некотором фиксированном промежутке: от начального момента t0, который обычно известен, до конечного момента t1, который часто требуется определить. Следовательно, время задано на промежутке

t0 ≤ t ≤ t1. (2.1)

оптимальная стратегия управление модель

Состояние системы в любой момент времени t из указанного промежутка характеризуется с помощью n вещественных чисел x1(t), х2(t), . . ., хn(t), называемых фазовыми координатами.

Составленный из фазовых координат n-мерный вектор-столбец

х(t) = (x1(t), х2(t), .,xn(t))', (2.2)

называется фазовым вектором (фазовой точкой), который можно геометрически интерпретировать как точку в n-мерном евклидовом пространстве Еn.

Выборы (решения), которые нужно осуществлять в каждый данный момент времени t из указанного интервала, характеризуются с помощью r вещественных чисел u1(t), u2(t), . . . , ur(t), называемых управляющими параметрами. Составленный из управляющих параметров r-мерный вектор-столбец

u(t) = (u1(t), u2(t), . . ., ur(t))', (2.3)

называется управляющим вектором. Требуется, чтобы каждый управляющий параметр являлся кусочно-непрерывной функцией времени. Поэтому управление представляет собой кусочно-непрерывную функцию времени.

Предполагается, что возможные значения управляющих параметров удовлетворяют некоторым ограничениям. Эти ограничения в общей форме состоят в том, что управляющий вектор в каждый момент времени из интервала t0≤t≤t1 должен принадлежать некоторому фиксированному непустому подмножеству U(t) r-мерного евклидова пространства

u (t) є U(t). (2.4)

Обычно предполагается, что множество U(t) является замкнутым и ограниченным и что оно инвариантно относительно времени. Управление (1.3) называется допустимым, если оно представляет собой кусочно-непрерывную вектор-функцию времени, значения которой в любой момент времени из указанного интервала (1.1) принадлежат U(t) [2]. Кусочно-непрерывные управления это такие управления u=u(t), каждое из которых непрерывно для всех рассматриваемых t, за исключением лишь конечного числа моментов времени, где функция u(t) может терпеть разрывы первого рода. Управление u(t), дающее решение поставленной задачи, называется оптимальным управлением.

Фазовая траектория х(t) определяется из уравнений движения, т. е. из системы дифференциальных уравнений, в которых скорость изменения каждой фазовой координаты представлена в виде функции фазовых координат, управляющих параметров и времени

. (2.5)

Предполагается, что каждая из заданных n функций f1, f2,…,fn является непрерывно дифференцируемой. Если эти дифференциальные уравнения не зависят явно от времени, то уравнения движения называются автономными. Фазовая траектория, найденная в результате решения уравнений движения при начальном состоянии х(t0)=x0 с использованием допустимого управления, называется допустимой, а любая фазовая точка на фазовой траектории, которую можно достичь за конечное время, называется достижимой.

Конечный момент времени t1 определяется условием (х(t), t) є T при t = t1, где Т — заданное подмножество в Еn, называемое конечной поверхностью. Важными частными случаями задачи управления являются задача с фиксированным временем, когда конечный момент времени t1 задан в явной форме как параметр задачи, и задача с фиксированным конечным моментом времени, когда х(t1) задан в явной форме как вектор параметров задачи.

Целевой функционал, максимум которого требуется найти, представляет собой отображение управлений (функций времени) на точки вещественной прямой. Этот функционал будет рассматриваться, как правило, в следующей форме:

. (2.6)

Подынтегральная функция I показывает, что функционал зависит от фазовых координат, управляющих параметров, являющихся функциями времени, и от времени, т. е.

I(х, u, t) = I (x1(t), x2(t), . . ., хn(t); u1(t), u2(t), . . .,ur(t); t), (2.7)

где t задано на промежутке t0≤t≤t1.

Второе слагаемое F в выражении для функционала, которое называется функцией конечных параметров, показывает, что функционал зависит от конечного состояния и от конечного момента времени:

F(х1,t1) = F(x1(t1), х2(t1), . . ., хn(t1); t1). (2.8)

Предполагается, что как I, так и F являются фиксированными непрерывно дифференцируемыми функциями.

Задачу с целевым функционалом такого вида, как в (2.6), обычно называют задачей Болъца. Если функция конечных параметров тождественно равна нулю, так что

, (2.9)

то такую задачу называют задачей Лагранжа. Задачу, в которой подынтегральная функция тождественно равна нулю, так что

J = F (x1, t1), (2.10)

называют обычно задачей Майера. Все эти три задачи эквивалентны, что можно доказать с помощью соответствующих преобразований переменных.

Итак, общая задача управления состоит в следующем: требуется найти

, (2.11)

при условии, что , t0 и х (t0) = х0 фиксированы, (x(t),t) є T при t=t1, u(t) є U. [2]

2.2 Системный анализ математической модели

2.2.1 Вербальное описание системы

Объект – «производственно-финансовая модель фирмы: предприятие по производству сотовых телефонов».

Системная модель объекта создается с целью изучения этапов построения глобальной математической модели финансирования предприятия и нахождение его наиболее оптимальной политики. Рассматриваемая система разбита на управляющую систему (директор, замдиректора, главный конструктор, инженер-разработчик) и управляемую (производственный отдел, отдел разработки, отдел продаж, отдел контроля качества, обеспечивающий отдел).

На отдельные части системы, такие как построение математической и расчетной модели, в данной работе обращено особенное внимание.

Назначением исследуемой модели является предоставление глобальной математической модели для дальнейшего ее использования при изучении деятельности фирмы на конечном промежутке времени. Для реализации цели системы используются различные ресурсы. К таким ресурсам относятся: информационные, технологические, энергетические.

Главный выход системы – телефоны высокого качества. На входы системы подаются материалы, необходимые для производства мобильных телефонов, денежные средства в виде кредита и капитала акционеров.

Данное предприятие предназначено для выполнения следующих задач:

- разрабатывать новые технологии производства и новые виды продукции, усовершенствовать ранее разработанные;

- Внедрять разработки в производство;

- Производить высококачественную продукцию;

- Руководить финансовыми оборотами предприятия;

- Продвигать произведенную продукцию на несовершенный рынок.

Для того чтобы система выполняла свои функции и задачи, необходимо чтобы каждый отдел системы выполнял свои функции.

Обеспечивающий отдел предназначен обеспечивать управление системой, кроме этого осуществляет финансовые операции, обеспечивает систему необходимыми материалами.

Производственный отдел предназначен для производства приборов, выполнение заказов, выполнять техническое обеспечение научно-исследовательского отдела.

Научно-исследовательский отдел осуществляет разработки, необходимые для усовершенствования продукции, технологий, прогнозирование дальнейшего состояния системы.

Была решена вспомогательная задача оптимального управления, построенная на примере оптимального потребления в однопродуктовой макроэкономической модели. Управляемая система представляла экономику страны или региона.

7) Аллен Р. Математическая экономика- – М., 1963. – 156 с.

8) Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984. – 304 с.

9) Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. – М.: Ил, 1963. – 605 с.

10) Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: ДИС, 1997. – 509 с.

11) Исследование операций. Тома I, II. (под. ред. Дж.Моудера, С. Элмаграби) – М.: Мир, 1981. – 452 с.

12) Карлин С. Математические методы в теории игр, программирование и экономика. – М.: Мир, 1964. - 546 с.

13) Левин М. И., Макаров В.Л., Рубинов А. М. Математические модели экономического взаимодействия. – М.: Наука, 1993. – 228 с.

14) Столерю А. Равновесие и экономический рост. – М.: Статистика, 1974. – 606 с.

15) Экланд И. Элементы математической экономики. – М.: Мир, 1983.– 464 с.