«Стохастическое моделирование: 12 лекций»

Кроме того, когда имеется набор готовых математических моделей, часто требуется выделить из них наиболее адекватную модель. В этом случае имеет актуальность

• задача идентификации.

После того, как проведено исследование модели и получены некоторые результаты, часто перед исследователями стоит

• задача интерпретации.

Для того чтобы ввести понятие стохастического моделирования необходимо рассмотреть понятия объекта, предмета и метода исследования.

2. Различие между объектом и предметом исследования. Формулировка темы исследования

Объектом исследования является какой-либо реальный предмет, процесс или явление. Например, мы можем исследовать изменение уровня моря, курс доллара или евро, поток фотонов или какое-нибудь социальное явление общества.

Предметом же исследования является какая-либо сторона объекта исследования, какое-либо его свойство или особенность. Предмет – это то, что нас интересует в объекте. Например, для объекта исследования “изменение уровня моря” предметом исследования может стать “характер этого изменения в зависимости от времени года”.

В таблице приведены объекты и соответствующие предметы исследования.

Тип объекта исследования Объект исследования Предмет исследования Формулировка темы исследования

Предмет Курс доллара Исследование факторов формирования Исследование факторов формирования курса доллара

Процесс Изменение

уровня моря Характер

в зависимости от времени года Исследование характера изменения уровня моря в зависимости от времени года

Явление Революционное настроение в обществе Связь с уровнем жизни Связь революционного настроения в обществе с уровнем жизни

Таблица 1. Формулировка темы исследования

3. Метод исследования. Формулировка названия работы

Методом исследования называется совокупность приемов и теоретических положений, применяемых при исследовании объекта. Для того чтобы метод помог достичь поставленных целей исследования, он должен быть связан с предметом исследования.

После того, как определен метод исследования, можно составить название будущей работы. Хорошо составленное название работы отражает не только объект и предмет исследования, но и метод, применяемый для исследования.

В таблице 2 перечислены некоторые объекты, предметы и методы исследования, и приведена соответствующая формулировка названия работы.

Объект исследования Предмет исследования Метод исследования Формулировка

названия работы

Курс доллара Факторы формирования Метод главных компонент Исследование факторов формирования курса доллара методом главных компонент

Изменение

уровня моря Характер

в зависимости от времени года Метод функциональной аппроксимации Исследование характера изменения уровня моря в зависимости от времени года при помощи функциональной аппроксимации

Революционное настроение в обществе Связь с уровнем жизни Метод главных корреляций Связь революционного настроения в обществе с уровнем жизни. Метод главных корреляций

Таблица 2. Формулировка названия работы

4. Стохастическое моделирование

Стохастическое моделирование – это раздел математического моделирования, в котором применяются вероятностно-статистические методы исследования.

Если исследуемый объект имеет вероятностную природу, его математическая модель, как правило, включает в себя вероятностные конструкции. В этом случае не обойтись без вероятностно-статистических методов исследования.

Часто к стохастическому моделированию относят и вероятностно-статистические методы исследования объектов имеющих невероятностную природу. Например, многие уравнения математической физики решаются при помощи методов Монте-Карло. Для этого моделируется некоторый случайный процесс, а решение получается его усреднением по исходам.

В таблице 2 только первое и последнее исследования относятся к стохастическому моделированию. Методы главных компонент и главных корреляций действительно относятся к вероятностно-статистическим методам. Второе исследование к стохастическому моделированию не относится. Даже если уровень моря является случайной величиной, в данной математической модели не применяются вероятностные конструкции и соответственно методы теории вероятностей или математической статистики.

5. Место моделирования в системе вероятностно-статистических методов исследования

Все предыдущие рассуждения касались того, какое место в математическом моделировании занимают вероятностно-статистические методы. В этом пункте рассматривается несколько обратный вопрос, какое место занимает математическое моделирование в системе прикладных вероятностно-статистических методов исследования.

Все прикладные методы исследования можно разделить на три уровня (в порядке получения информации об исследуемом объекте):

1. Методы и средства измерений

2. Методы и средства математического моделирования

3. Проблемно и предметно ориентированные методы

После того как мы собрали данные посредством измерений (1) и перед тем как предложить методы для решения конкретной проблемы связанной с конкретным объектом (3), в общем случае нам следует использовать методы моделирования (2).

Методы и средства измерений (1) предназначены для получения данных или их характеристик. Часто они имеют статистический характер.

Математическое моделирование (2) находится между статистическими измерениями (1) и проблемно ориентированными методами (3). Так как мы говорим о вероятностно-статистических методах математического моделирования, то второй пункт по смыслу совпадает с названием нашего курса – “Стохастическое моделирование”.

Проблемно и предметно ориентированные вероятностно-статистические методы (3) предназначены для решения конкретных задач узкого типа и, как правило, имеют очень узкое применение. Среди них множество методов также имеют вероятностно-статистический характер.

В связи с вышесказанным, все вероятностные методы исследования можно разбить на три большие группы:

1. Статистические измерения

2. Стохастическое моделирование

3. Проблемно ориентированные вероятностные методы

Не всегда данные являются статистическими, иногда они задаются в виде статичных законов (напр. законы природы). Также статистические наблюдения часто обрабатываются при помощи статической (невероятностной) модели. Кроме того, не всегда конечные проблемно ориентированные методы используют вероятностные конструкции.

6. Этапы математического моделирования

Выделяют, как правило, три этапа математического моделирования:

1. Построение модели;

2. Разработка алгоритма;

3. Написание программы.

Каждый из этапов подразумевает обращение к предмету исследования.

На первом этапе строится математическая модель, в которой учитываются все существенные для исследования стороны объекта исследования. Именно здесь учитывается предмет исследования. Из реального объекта удаляются все неинтересные с точки зрения предмета исследования стороны. Например, при исследовании факторов формирования курса доллара мы можем не учитывать особенности произношения слова “dollar” на разных диалектах английского языка.

На втором этапе строится или выбирается уже готовый алгоритм реализации модели на компьютере. При помощи численных методов модель представляется в виде, удобном для реализации на языках программирования. Особенность стохастического моделирования заключается в том, что приходится генерировать численно случайные объекты (случайные величины, вектора, процессы, события). Для этого применяются специальные методы стохастического моделирования случайных объектов, которые мы рассмотрим в дальнейшем.

Третий этап – разработка программы. Сначала модель записывается в виде последовательности операторов на псевдоязыке программирования (также в виде блок-схем). После этого выбирается язык программирования, на котором последовательность операторов записывается в виде готового кода. Также сюда относится тестирование и отладка программ.

Полученные на третьем этапе данные позволяют судить об адекватности построенной модели. Часто после анализа результатов приходится модифицировать модель и начинать все сначала.

Каждый этап математического моделирования должен учитывать особенности объекта исследования. Необходимые свойства объекта задаются при построении модели и далее учитываются на протяжении всего процесса исследования.

При моделировании случайного процесса с независимыми приращениями просто повторяют вышеуказанный процесс.

Алгоритм.

Шаг 1. Строится начальное значение .

Шаг 2. Генерируется случайная величина . Она не зависит от , поэтому генерируется обычным образом.

Шаг i. Генерируется случайная величина . Она не зависит от случайных величин , поэтому генерируется обычным образом.

Окончательная последовательность строится следующим образом:

.

70. Генерирование винеровского процесса

Самым простым примером моделирования случайных процессов с независимыми приращениями является моделирование винеровского случайного процесса.

Предположим, что точки

равноудалены друг от друга:

, .

Тогда приращения винеровского процесса

, , …,

имеют одинаковое распределение:

.

Поэтому достаточно сгенерировать случайную величину:

,

а затем вычислить .

Алгоритм.

Шаг 1. Строится начальное значение .

Шаг 2. Генерируется случайная величина с одинаковым распределением:

.

Шаг 3. Вычисляются значения винеровского случайного процесса:

.

71. Генерирование стационарных случайных процессов. Метод канонических разложений

Предварительные сведения.

Определение. Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция

(здесь – математическое ожидание или среднее случайной величины).

Определение. Стационарным в широком смысле процессом называется случайный процесс со следующими свойствами:

1) (постоянное среднее);

2) (ковариационная функция зависит от разности аргументов).

Далее для удобства мы будем полагать, что среднее генерируемого стационарного процесса равно нулю: .

Метод моделирования.

Мы будем моделировать случайный процесс применяя его представление в виде ряда Фурье:

.

Здесь - частота, по которой строятся ортогональные функции ряда Фурье. Соответствующий период ряда Фурье должен быть больше длины интервала моделирования процесса.

Мы будем полагать, что коэффициенты ряда Фурье и - независимые друг от друга случайные величины. Если бы величины и были не случайными, мы получили бы разложение обычной функции в ряд Фурье. Генерируя коэффициенты и каждый раз случайным образом, мы получим случайный процесс .

Нам осталось найти способ моделирования и , такой, чтобы корреляционная функция генерируемого случайного процесса совпадала с .

72. Вычисление распределения коэффициентов ряда Фурье метода канонических разложений при моделировании стационарного в широком смысле случайного процесса

Исследуем подробнее метод канонических разложений для генерирования случайного процесса . Пусть ковариационная функция процесса раскладывается в ряд Фурье:

.

Найдем распределения коэффициентов ряда Фурье и

Выразим ковариационную функцию через и . Заметим, что , так как . По определению

.

Ковариационная функция может зависеть от разности , только в одном случае, если . Только в этом случае тригонометрические функции собираются в один коэффициент:

.

Обозначим дисперсии .

.

Обозначим разность аргументов через . В итоге получим:

.

Это есть разложение ковариационной функции в ряд Фурье. Следовательно, дисперсии случайных коэффициентов должны быть коэффициентами разложения Фурье ковариационной функции. По формулам для коэффициентов ряда Фурье получаем:

,

,

где - период ряда Фурье.

Мы пришли к выводу, что для того, чтобы стационарный в широком смысле случайный процесс имел ковариационную функцию достаточно выбрать коэффициенты и ряда Фурье со следующими параметрами:

, ,

где вычисляются по приведенным выше формулам.

73. Алгоритм генерирования стационарных случайных процессов методом канонических разложений

Необходимо смоделировать случайный процесс , . Нам даны два условия:

1. процесс центрированный ;

2. ковариационная функция процесса есть .

Алгоритм.

Шаг 1. Выбираем период ряда Фурье большим, чем длина интервала , на котором моделируется процесс.

Шаг 2. Вычисляем коэффициенты Фурье разложения ковариационной функции в ряд Фурье:

,

,

Шаг 3. Генерируем случайные коэффициенты и из условия

, ,

Шаг 4. Вычисляем значения случайного процесса по формуле

.

Замечание 1. Заметим, что шаг 3 подразумевает широкую вольность в выборе распределения коэффициентов и : единственное требование относится к среднему и дисперсии этих величин. В зависимости от того, какое распределение мы выберем, такой процесс мы и получим. В любом случае, функция ковариации случайного процесса останется такой же. Самым распространенным вариантом является нормальное (гауссово) распределение.

Замечание 2. В теоретическом описании алгоритма вычисление ряда Фурье проводятся до бесконечности. На практике, вычисления ведутся до какого-то достаточно большого индекса , обеспечивающего удовлетворительную точность аппроксимации.

Лекция 12

Программирование

74. Общая структура программ математического моделирования

Структура программ математического моделирования, как правило, стандартна. Рассмотрим основные ее составляющие.

1. Ядро.

Ядро представляет собой программу, выполняющую некоторый набор базовых функций. Это может быть программа, к которой можно обращаться только посредством командной строки. Пользователь работает с ядром посредством программы интерфейса. Обращения к ядру программы происходит, как правило, на особом метаязыке программирования, разработанным специально для программы.

2. Интерфейс.

Это отдельная программа или часть программы, позволяющая пользователю использовать ядро и подключаемые к нему библиотеки или модули. Именно с этой программой работает непосредственно пользователь, и именно в этой программе заключен ее дизайн.

3. Библиотеки или модули.

Любая серьезная программа математического моделирования допускает разработку и подключение дополнительных библиотек. Библиотеки или модули представляют собой дополнительный набор функций и процедур, которые пользователь может использовать. Модули могут использовать другие дополнительные модули для выполнения своих функций или процедур.

4. Модули пользователей.

Кроме библиотек, поставляемых с пакетом программы, программы математического моделирования часто предоставляют пользователям возможность самим написать дополнительные функции или процедуры и скомпоновать их в особые модули. Модули пишутся на особом метаязыке программирования, который описывается в документации к программе.

75. Критерии качества программ математического моделирования

Приведем некоторые критерии качества программ математического моделирования.

1. Валидность.

Программа должна решать именно поставленную задачу. Если она решает более широкую или более узкую задачу, как правило, она отклоняется конечным пользователем. Тем не менее, одним из методов экономии ресурсов времени при разработке программного обеспечения является использование наработок одного проекта для создания другого.

2. Надежность.

Программа должна работать при любых исходных данных – анализировать их правильность и выдавать результаты или диагностику ошибок. Также программа должна гарантированно работать при выполнении всех требований, заявленных в описании программы (при всех заявленных конфигурациях вычислительной машины и используемого программного обеспечения).

3. Удобный интерфейс и продуманный дизайн.

Один из решающих факторов успеха для коммерческого программного обеспечения. Первое впечатление пользователя о программе складывается порой за время меньшее секунды (в настоящее время главным фактором эффективности деятельности людей является фактор времени). За максимально короткое время пользователь должен суметь оценить программу, ее интерфейс, возможности и преимущества. Только хорошо продуманный дизайн позволяет достичь этого.

4. Эффективность.

Программа должна быть оптимизирована в смысле потребляемых ресурсов: времени процессора, оперативной памяти, места на жестком диске, размеров установочного пакета.

5. Возможность модификации.

Еще на начальных этапах разработки в программу должна быть заложена возможность внесения изменений. Изменения могут вноситься в программу, как во время разработки программы, так и после выпуска программы в виде отдельно оформленных пакетов обновлений. Возможность модификации предполагает применение базовых принципов программирования: разделение выполняемых процедур и данных, объектно-ориентированное программирование.

6. Наличие документации.

Документация поставляется конечному пользователю вместе с программой. Кроме того, для эффективной разработки программы должна вестись документация по всему процессу разработки программы, начиная с самого момента постановки задачи.

7. Читабельность кода программы, легкость отладки и тестирования.

Сюда относятся такие рекомендации как выбор понятных имен переменных, снабжение кода программы комментариями, правильная организация кода. Легкость отладки и тестирования обусловлена продуманностью этих возможностей на начальных этапах разработки программы.

Каждый из приведенных критериев качества требует использования ресурсов рабочего времени. Даже для разработки эффективного дизайна профессиональными дизайнерами порой требуется серьезное количество времени. Поэтому разработчику или менеджеру следует расставлять приоритеты для критериев качества заранее. При этом следует учесть, что каждый из критериев закладывается на разных этапах разработки программы.

76. Принципы разработки программ

1. Принцип нисходящего проектирования.

Принцип заключается в постепенном разбиении основной задачи на подзадачи, каждой подзадачи на более мелкие подзадачи и т.д.

2. Принцип структурного программирования.

Создание программы из ограниченного числа базовых конструкций.

3. Поэтапное программирование.

Весь процесс создания программы разбивается на несколько этапов. К следующему этапу переходят только после того, как закончен предыдущий.

4. Большой объем предварительной работы.

Основное внимание уделяется именно начальным этапам разработки программ: постановке задач, проектирование алгоритма, разделение собственно программы и баз данных и т.п.

5. Разделение программирования и кодирования (надъязыковой подход).

Подход заключается в том, что программа пишется предварительно на специальном языке программирования человеческого уровня, который каждый разработчик сочиняет для себя сам. Это могут быть как специальные символы, так и словесное описание каждого шага. Этот этап называется программированием, а используемый язык программирования – псевдокодом.

После того, как программа написана, псевдокод переводится в один из компьютерных языков программирования. Этот этап называется кодированием.

77. Этапы разработки программ

Один из общих принципов программирования – поэтапная разработка. Ниже приведен обычный список этапов разработки программы.

Два принципа, которые следует соблюдать при реализации каждого этапа:

1. Предшествующие этапы могут включать часть последующего этапа.

2. Последующие этапы не должны (по возможности) включать предыдущие этапы.

Теперь приведем сам список этапов.

1. Составление спецификации.

Сюда входят формулировка задачи, описание входных и выходных данных программы, описание метода решения, возможных аномалий, тестов для проверки работоспособности программы. В частности в этом пункте планируется большая часть описания программы, которое потом предоставляется пользователю.

2. Составление алгоритма.

На этом этапе происходит собственно программирование. Алгоритм составляется в виде псевдокода.

3. Кодирование программы.

На этом этапе происходит перевод псевдокода в код конкретного языка программирования.

4. Отладка и тестирование.

В связи с тем, что современные программы отличаются большим объемом и сложностью, этот этап, как правило, занимает большее количество времени, чем все предыдущие.

Тесты делятся на функциональные и структурные. Функциональные тесты проверяют функционирование программы с точки зрения пользователя и должны быть заготовлены еще на первом шаге. Структурные тесты проверяют правильность реализации той или иной логической конструкции внутри программы.

Длительность и сложность этого этапа зависят от правильного выполнения всех предыдущих этапов. В отличие от принципа нисходящего программирования (от крупных задач к более мелким), здесь действует принцип восходящего тестирования (при отладке и тестировании – от мелких задач к более крупным).

5. Выпуск программы и документирование.

Этот этап осуществляется при помощи менеджеров и специалистов по маркетингу.

78. Использование глобальной сети Интернет для распространения программ математического моделирования

Если программа разрабатывается организацией (программистом) не только для внутреннего (индивидуального) использования, она подлежит распространению. Глобальная сеть интернет в этом случае может выступать в достижении двух целей:

1. Маркетинг (в частности реклама), публикация информации о программном продукте и о разработчиках;

2. Средство распространения программы.

Для достижения обоих целей создается интернет-сайт, содержащий информацию о программном продукте и его разработчиках. Если сайт выступает как средство распространения программы, на нем размещается сама программа или ее демонстрационная версия.

Все программы можно условно разделить на три большие категории:

1. бесплатные (free);

2. условно-бесплатные (shareware);

3. коммерческие (commercial).

Коммерческие программы также допускают бесплатно распространяемые демонстрационные версии (демо-версии) программ. Это программы ограниченные по времени использования и/или по функциональным возможностям, и часто их относят к условно-бесплатным программам.

Кроме выпуска программ работу алгоритмов стохастического моделирования можно демонстрировать при помощи динамических интернет-страниц, изменяющих свое содержание в зависимости от результатов вычислений.

79. Составляющие статической интернет страницы

Для того чтобы определить способ представления алгоритмов, выполняемых на стороне клиента при помощи динамических интернет-страниц, разберем составляющие статических интернет страниц.

1. Язык разметки html.

Язык разметки представляет собой набор тегов, которые разработчик может включать в интернет-страницы. Существует стандартный набор тегов, позволяющих выполнять множество функций от выделения текста жирным шрифтом, до внедрения в страницу графики и различных приложений.

2. Каскадные таблицы стилей (css).

Каскадные таблицы стилей разработаны для отделения структуры страницы от ее оформления. При использовании каскадных таблиц стилей, содержимое страницы пишется отдельно, а особенности оформления страниц выносятся в отдельную таблицу стилей. Допускается использование нескольких таблиц стилей, когда каждая из них несет свою смысловую нагрузку, а при генерации конечной страницы стили оформления накладываются друг на друга (каскад стилей).

80. Клиентские и серверные скрипты

Напомним, что клиентом называется конечный получатель интернет-страницы. Сервером называется поставщик интернет-страниц. Скриптом называется небольшая вспомогательная или встраиваемая программа.

1. Клиентские скрипты.

Технология клиентских скриптов обеспечивает включение в интернет-страницу программ, которые динамически могут ее изменять. Например, если мы хотим представить диаграмму значений случайной величины, мы можем внедрить в страницу небольшую программу (скрипт), которая самостоятельно генерирует значения случайной величины и отображает их на диаграмме, включенной в интернет-страницу. Для реализации динамического изменения страницы в настоящее время используют язык JavaScript. Этот язык позволяет осуществлять вычисления, генерацию случайных данных, а также динамическое изменение страниц в соответствии с вычисленными данными или действиями пользователя. В частности, пользователь может самостоятельно выбрать распределение случайной величины, значения которой будут каждый раз пересчитываться и отображаться на диаграмме. Клиентские скрипты выполняются на стороне пользователя и используют ресурсы только его машины. Практически все современные браузеры правильно распознают стандартные функции языка JavaScript.

2. Серверные скрипты.

В предыдущем пункте мы рассматривали случай, когда пользователь получает по сети интернет готовую страницу, оформленную в виде файла, находящегося на сервере. Следующей технологией является динамическая генерация страниц на стороне сервера. Вместо статичных html-файлов мы можем использовать программу, которые эти html-файлы может генерировать. Например, мы можем хранить данные в отдельных файлах и по требованию пользователя включать в генерируемую страницу те из них, которые на данный момент нужны пользователю. Серверные скрипты пишутся на особых языках (php, asp, perl и др.) и выполняются на стороне сервера, используя его ресурсы. Для их выполнения необходимо, чтобы сервер поддерживал выполнение скриптов соответствующего типа.

Из рассмотренного выше следует, что наиболее актуальными для демонстрации алгоритмов стохастического моделирования являются скрипты, выполняемые на стороне клиента. Именно, такие скрипты обеспечивают динамическое изменение составляющих интернет-страницы, в соответствии с полученными вероятностными исходами для числовых величин.

Дополнительная

8. Боровков, А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

9. Ширяев А. И. Вероятность, М.: Наука, 1989.

10. И.И.Гихман, А.В.Скороход "Введение в теорию случайных процессов", М., Наука, 1977.

11. Гихман И.И., Скороход А.В., Теория случайных процессов, в 3 т., Москва, Наука, 1980.

12. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.:”Наука”, 1991.

13. Боровков А. Математическая статистика: оценка параметров проверка гипотез. М., Наука, 1984,

14. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Большая Российская Энциклопедия, 1999.

15. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.:Наука, 1964.