«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу функциональный анализ для направления прикладная математика и информатика»

Весь курс лекций подразделен на семь глав, которые подразделяются на параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, замечаниям, примерам. В первой главе рассматриваются топологические пространства. Во второй главе изучается свойства метрических пространств. Рассматриваются такие теоремы как:

Теорема Хаусдорфа, теорема Бэра. В третьей главе изучаются мера и измеримые множества. В ней рассматриваются такие темы как: измеримые множества, мера, системы множе ств в евклидовом пространстве, внешняя мера, измеримые множества, сходимости, единственность предела. В четвертой главе изучается интеграл Лебега. В эту главу включены такие темы как: интеграл Лебега, свойства интеграла Лебега, лемма Фату.

В пятой главе рассматриваются нормированные и гильбертовы пространства.

В шестой главе линейные операторы в нормированных пространствах.

В седьмой главе рассматривается спектральная теория операторов.

A - объединение множеств.

Запись ∩ A - персечение множеств. Запись ∞Σ n=1

An - дизъюнктное объединение множеств.

Отображением φ множества M1 в множество M2 обозначается: φ : M1 → M2. Образ элемента x при отображении φ обозначается: x : φ(x) Совокупность всех тех элементов a ∈ M1, образом которых является данный элемент b ∈ M2, называется прообразом элемента b при отображении φ : M1 → M2 и обозначается через φ−1(b). Таким образом, φ−1(b) = {a ∈ M1 : φ(a) = b}. Отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией,если φ(M1) = M2. Теорема 1.1. (о прообразах). Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов соответственно:

ϕ

−1(A ∪ B) = ϕ

−1(A) ∪ ϕ

−1(B)

ϕ

−1(A ∩ B) = ϕ

−1(A) ∩ ϕ

−1(B)

Теорема 1.2. (об образах). Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:

ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) ∪ ϕ(B)

§2. Понятия в топологическом пространстве. База топологии.

Определение 1. (топология множества) Пусть X – произвольное множество и τ = {U} – совокупность его подмножеств, обладающая следующими свойствами (аксиомы топологии):

1. ∅, X ∈ τ

2. объединение любой совокупности множеств из τ принадлежит τ

3. пересечение любого конечного числа множеств из τ принадлежит τ .

Такая совокупность τ называется топологическим пространством и обозначается X, τ .

Определение 2. Множество X с заданной на нем топологией τ называется топологическим пространством и обозначается (X, τ ).

Определение 3. Подмножества из совокупности τ называются открытыми (в пространстве (X, τ )).

Пример 1. τmin = ∅, x тривиальная топология.

Пример 2. τmax = {множество всех подмножеств X}.

Пример 3. Топология R1 множества всевожможных интервал (a, b) и все множества, представляются в виде объединения интервалов ∪(a, b) является топологией.

Определение 4. B ⊂ X называется замкнутым, если X − B ∈ τ является топологией.

В силу двойственного характера операций в теории множеств совокупность {F} всех замкнутых множеств топологического пространства X, τ удовлетворяет следующим свойствам:

1. X,∅ ∈ {F}

2. пересечение любой совокупности множеств из {F} принадлежащих

{F}(двойственность к топологии).

ГЛАВА 2

СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ.

§1. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве.

В метрическом пространстве вводится понятие сходимости последовательности. Пусть (X, d) - метрическое пространство.

Определение 23. Говорят, что xn ∈ X сходится к x ∈ X (xn → x0; lim n→∞xn = x0), если d(xn, x0) → 0 при n → ∞.

Лемма 2.1. 1. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то её предел единственный xn → x0, xn → y0 ⇒ x0 = y0.

2. Если последовательность сходится в метрическом пространстве, то она ограничена.

3. Если xn → x0, yn → y0, то⇒ d(xn, yn) → d(x0, y0)(метрика является непрерывной функцией своих аргументов).

Доказательство. 1. Пусть xn → x0; xn → y0. Применяя неравенство треугольника, получим: 0 ≤ d(x0, y0) ≤ d(x0, xn0) + d(xn0, y0) < 2ε. Оба слагаемых в правой части стремятся к нулю, т.к. d(a, b) ≥ 0 и не зависит от n, то ⇒ d(x0, y0) = 0 ⇒ x0 = y0.

2. Утверждение легко вытекает из определения сходимости последовательности заметим xn → x0 ⇒ d(xn, x0) → 0 ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0. Следовательно все члены последовательности за исключением конечного числа попадают в окружность S(x, ε) т.к. любой конечный набор элементов является всегда ограниченным ⇒ ограниченность всей последовательности.

3. По неравенству 4-х угольника: |d(x, y) − d(xn, yn)| ≤ d(x, xn) + d(y, yn) ⇒ при n → ∞ получаем утверждение леммы.

Определение 24. Последовательность xn ∈ X называется фундаментальной последовательностью, если для ∀ε > 0, ∃N : d(xn, xm) < ε если n,m ≥ N

Теорема 2.1. (о сходимости последовательностей) Пусть {xn} – последовательность из метрического пространства X. Следующие условия эквивалентны:

1. {xn}-сход. к x0

2. ∀ подпоследовательность {xn}сходится x0

3. для ∀ подпоследовательности {xnk } существует подпоследовательность {xnk } сход. к x0.

4. {xn}-фундаментальная и любая подпоследовательность {xnk } сходится к x0.

5. xn- фундаментальная и ∃ подпоследовательность {xnk } сходящаяся к x0.

Доказательство. 1⇒2 и 2⇒3. Стандартные утверждения из математического анализа: подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу: доказательство абсолютно аналогично.

4⇒ 5 Очевидно.

3⇒ 4 вытекает из 5⇒1. Действительно, если 5⇒ 1 уже доказано,то в силу условий п.4 подпоследовательность {xnk

} фундаментальна, но по п.3 у неё существует сходящаяся к x подпоследовательность. Тогда из

5⇒ 1 вытекает, что {xnk } сама сходится к x.