«Методы оптимальных решений Вариант 3 (1-7лаб)»

3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 (ЧАСТЬ II) “АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ” 39

На складах хранится мука, которую необходимо завезти в хлебопекарни (табл. 1). Текущие тарифы перевозки муки [руб./т], ежемесячные запасы муки [т/мес.] на складах и потребности хлебопекарен в муке [т/мес.] указаны в табл.2.

При этом необходимо учитывать, что из-за ремонтных работ временно нет возможности перевозить муку с некоторых складов в некоторые хлебопекарни. В табл.1 это показано в графе \"Запрет перевозки\" в формате № склада x № хлебопекарни. Например, «2x3» обозначает, что нельзя перевозить муку со склада №2 в хлебопекарню №3.

Кроме того, необходимо учесть, что некоторые хлебопекарни имеют договоры на гарантированную поставку муки с определенных складов. В табл.1 это показано в графе \"Гарантированная поставка\" в формате № склада x № хлебопекарни = объем поставки. Например, «1x4=40» обозначает, что между складом №1 и магазином №4 заключен договор на обязательную поставку 40 т муки.

Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом по 50 кг.

4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 “ДВУХИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ. СТАНДАРТНАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА” 49

Искомые параметры

1. – факт назначения или неназначения работника на работу:

2. – общая (суммарная) характеристика качества распределения ресурсов по работам.

Таблица 1

Общий вид транспортной матрицы задачи о назначениях

Работники Работы Количество работников

6 5 0 0 0 0 0 1

9 7 0 0 0 0 0 1

9 9 0 0 0 0 0 1

8 9 0 0 0 0 0 1

6 7 0 0 0 0 0 1

7 7 0 0 0 0 0 1

8 8 0 0 0 0 0 1

Количество работ 1 1 1 1 1 1 1

где - фиктивные работы ( ).

5. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 “ДВУХИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ” 57

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

По заказу пяти потребителей А, Б, В, Г, Д на четырех предприятиях-изготовителях производится продукция. В процессе доставки к потребителям продукция может храниться на трех оптовых базах. Существуют следующие три способа организации снабжения потребителей продукцией:

1) ИЗГОТОВИТЕЛЬ ОПТОВАЯ БАЗА ПОТРЕБИТЕЛЬ,

то есть вся продукция, произведенная изготовителями, сначала складируется на оптовых базах и только потом развозится потребителям;

2) ИЗГОТОВИТЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬ,

то есть вся продукция, произведенная изготовителями, напрямую доставляется потребителям, минуя оптовые базы;

3) ИЗГОТОВИТЕЛЬ ОПТОВАЯ БАЗА

ПОТРЕБИТЕЛЬ,

то есть продукция, произведенная изготовителем, доставляется к потребителям частично напрямую, а частично транзитом через оптовые базы.

Необходимо выбрать оптимальный способ организации снабжения потребителей продукцией предприятий-изготовителей.

6. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 “ДВУХИНДЕКСНЫЕ

Оптовые цены, фонды времени и план выпуска продукции

№ в. Ц [руб./шт.] Fi [ч] Pj [шт.]

1 26; 28; 35; 31; 20 720; 680; 700; 990 12 000; 9500; 8000; 7000; 12 450

2 30; 29; 40; 25; 35 820; 650; 700; 740 8 400; 700; 12 000; 10 800; 6 100

3 15; 12; 26; 14; 30 700; 520; 660; 1080 5 000; 16 000; 6 000; 8 100; 7 500

4 25; 27; 34; 31; 22 780; 450; 750; 940 7 500; 2 400; 8 200; 11 500; 7 800

5 25; 27; 37; 30; 22 700; 350; 910; 740 8 600; 10 000; 7 000; 9 500; 8 000

6 24; 29; 34; 37; 20 680; 750; 320; 500 6 000; 21 000; 17 000; 7 300; 4 100

7 18; 12; 24; 19; 30 810; 680; 700; 720 9 400; 7 500; 10 000; 11 000; 4 000

8 29; 26; 34; 40; 30 260; 500; 320; 480 8 500; 5 700; 14 000; 15 400; 11 650

9 20; 18; 31; 23; 30 680; 750; 950; 840 14 800; 6 000; 12 000; 4 000; 10 000

10 22; 15; 30; 32; 24 470; 850; 500; 750 6 470; 7 400; 17 500; 3 700; 4 700

11 26; 30; 37; 18; 29 550; 200; 680; 740 6 500; 10 000; 13 200; 8 500; 2 000

12 26; 29; 37; 28; 32 820; 670; 700; 740 8 400; 150; 12 000; 10 800; 5 500

Затраты на производство и трудоемкость выпуска продукции

№ вар. [мин./шт.]

[руб./шт.]

3

затраты на переоборудование цехов цехов S = (sij) [тыс. руб.]

равны:

7. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 “ДВУХИНДЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ ЛП.

ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ” 65

Рис.2.2. Габариты полок, выпускаемых мебельным комбинатом

При изготовлении полок А выполняются следующие работы: столярные, покрытие лаком, сушка, резка стекла, упаковка. Все операции, производимые в ходе столярных работ и упаковки, выполняются вручную. Полки B1 и В2 поставляются в торговую сеть в разобранном виде. За исключением операции упаковки, все остальные операции (производство комплектующих полки, резка стекла) при изготовлении полок B1 и В2, выполняются на специализированных автоматах.

Трудоемкость столярных работ по выпуску одной полки А составляет 4,8 (Тр1) ч. Производительность автомата, покрывающего полки А лаком – 5 (Пр1) полок в час, автомата, режущего стекло – 250 (Пp2) стекол в час. Сменный фонд времени автомата для покрытия лаком – 7,3 (ФВ1) ч, автомата для резки стекла – 7 (ФВ2) ч. Сушка полок, покрытых лаком, происходит в течение суток в специальных сушилках, вмещающих 40 (V1) полок. На упаковку полки А требуется 9 (Тр2) минуты. В производстве полок заняты 6 (Р1) столяров и 11 (Р2) упаковщиков.

Производительность автомата, производящего комплектующие полок B1 и В2, равна 6 (Пр3) полки в час, а его сменный фонд времени равен 7,7 (ФВ3) ч, трудоемкость упаковочных работ составляет 13 (Тр3) мин для полки В1 и 14 (Тр4) мин для полки В2.

От поставщиков комбинат получает в месяц 380 (Z1) листов полированной ДСП, 220 (Z2) листов ДВП (древесно-волокнистой плиты), а также 190 (Z3) листов стекла. Из каждого листа ДВП можно выкроить 16 (К1) задних стенок полок B1 и В2, а из каждого листа стекла – 5 (К2) стекол для полок А и В2.

Склад готовой продукции может разместить не более 300 (V2) полок и комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 40 (N) полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 170 (Ост) полок, произведенных ранее. Себестоимость полки А равна 200 (C1) руб., полки В без стекла – 164 (C2) руб., со стеклом – 178 (С3) руб.

Маркетинговые исследования показали, что доля продаж полок обоих вида B1 и B2 со стеклом составляет не менее 15% (Д) в общем объеме продаж, а емкость рынка полок производимого типа составляет около 3000 (V3) штук в месяц. Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 10 (З) полок типа A и 18 полок типа В2 в текущем месяце.

Составьте план производства полок на текущий месяц. Известны цены реализации полок: полка А – 284 (Ц1) руб., полка В без стекла – 190 (Ц2) руб., полка В со стеклом – 206 (Ц3) руб.

Построение модели

I этап построения модели заключается в определении (описании, задании, идентификации) переменных. В данной задаче искомыми неизвестными величинами является количество полок каждого вида, которые будут произведены в текущем месяце. Таким образом, – количество полок А (шт./мес.); – количество полок В1 (шт./мес.); – количество полок В2 (шт./мес.).

II этап построения модели заключается в построении целевой функции, представляющей цель решения задачи. В данном случае цель – это максимизация прибыли, получаемой от продажи полок всех видов в течение месяца. Поскольку в этой задаче прибыль может быть определена как разность между ценой (Ц1, Ц2, Ц3) и себестоимостью (С1, С2, С3), то ЦФ имеет вид

III этап построения модели заключается в задании ограничений, моделирующих условия задачи. Все ограничения рассматриваемой задачи можно разделить на несколько типов.

Ограничения по фонду времени (с использованием трудоемкости работ)

Левая часть ограничений по фонду времени представляет собой время, затрачиваемое на производство полок в течение месяца в количестве , , штук. Правая часть ограничения – это фонд рабочего времени исполнителя работы (рабочего или автомата) за смену. Неравенство (2.2) описывает ограничение по фонду времени на выполнение столярных работ. Коэффициент 4,8 ч/шт. (Тр1) – это время, затрачиваемое на столярные работы при производстве одной полки типа А (трудоемкость); 6 чел. (Р1) – это количество столяров, участвующих в производстве; 8 – количество часов работы одного человека в течение смены; 1 см./дн. – количество смен в одном рабочем дне; 22 дн./мес . – количество рабочих дней в месяце (табл.2.1):

(2.2)

Примечание 2.2. Важным моментом проверки правильности составления ограничений является проверка совпадения единиц измерения левой и правой частей ограничения. В ограничении (2.2) левая и правая части измеряются в часах, потраченных на выпуск продукции в течение месяца.

Аналогично записывается ограничение (2.3) по фонду времени на упаковочные работы, в котором 11 чел. (Р2) – это количество упаковщиков:

(2.3)

Ограничения по фонду времени (с использованием производительности работ)

Неравенство (2.4) описывает ограничение по фонду времени на покрытие лаком полок типа А. Отличие ограничений, учитывающих данные о производительности работ, от ограничений, учитывающих данные о трудоемкости работ, состоит в том, что производительность необходимо преобразовать в трудоемкость. Трудоемкость является величиной, обратной производительности. Коэффициент ( ) при в (2.4) – это количество часов, приходящихся на покрытие лаком одной полки типа А. При записи правой части ограничения учитываем, что автомат, выполняющий покрытие лаком, работает не полную смену (8 ч), а в течение сменного фонда времени 7,3 ч (ФВ1). Это связано с необходимостью подготовки автомата к работе и обслуживанием его после окончания работы.

(2.4)

Неравенство (2.5) описывает ограничение по фонду времени на резку стекла для полок типа А и В2:

(2.5)

Неравенство (2.6) описывает ограничение по фонду времени на производство комплектующих полок типа В1 и В2:

(2.6)

Ограничения по запасу расходуемых в производстве материалов

(по запасу используемых для производства полок деталей)

Неравенство (2.7) описывает ограничение по запасу листов ДСП, поставляемых на комбинат ежемесячно. При этом следует учесть, что из листа ДСП надо выкраивать комплекты (верхнюю и нижнюю стороны полок, 2 боковые стороны) для производства полок. Поэтому при задании ограничения имеет смысл ориентироваться не на количество листов ДСП, а на количество комплектов для полок [правая часть (2.7)], которые можно получить из имеющегося запаса ДСП. Но поскольку листы ДСП можно раскраивать различными способами и получать при этом различное количество деталей и комплектов, то обозначим месячный запас комплектов в правой части (2.7) как и рассмотрим способ его численного определения позже. В левой части ограничения (2.7) задается количество комплектов (по одному на полку), необходимых на производство полок в течение месяца в объеме , :

(2.7)

Аналогично ограничению по ДСП неравенство (2.8.) – это ограничение по запасу задних стенок из ДВП для полок В1 и В2, а неравенство (2.9) – ограничение по запасу стекол для полок А и В2. В отличие от ДСП листы ДВП и листы стекла кроятся стандартным способом, и из каждого листа ДВП получается 16 (К1) задних стенок полок, а из каждого листа стекла получается 5 (К2) стекол. Ежемесячный запас листов ДВП и стекла составляет соответственно 220 (Z2) и 190 (Z3). При составлении левых частей ограничений (2.8) и (2.9) следует учесть, что на каждую полку В1 и В2 приходится по одной задней стенке, а на каждую полку А и В2 – по 2 стекла:

(2.8)

(2.9)

Ограничения по емкости вспомогательных помещений и рынка

Неравенство (2.10) является ограничением по количеству полок А, которые может вместить сушилка. В правой части (2.10) представлено количество полок, которые могут быть просушены в течение месяца (в день может быть просушено 40 (V1) полок):

(2.10)

Неравенство (2.11) описывает ограничение по количеству полок всех видов, которые может вместить склад готовой продукции. При этом правая часть (2.11) учитывает, что общая емкость склада уменьшена на 100 (Ост) полок, которые остались невывезенными с прошлого месяца. Кроме того, в течение месяца каждый день будет освобождаться по 40 (N) мест для полок:

(2.11)

Неравенство (2.12) описывает ограничение по примерной емкости рынка, равной 3000 (V3) полкам всех видов:

(2.12)

Ограничения по гарантированному заказу

Неравенство (2.13) показывает, что необходимо произвести как минимум 10 (З) заказанных полок A и 18 полок В1, а возможно, и большее количество, но уже для свободной продажи:

(2.13)

Ограничения по соотношению объемов продаж различных товаров

Неравенство (2.14) показывает, что доля полок В1 и В2 в общем объеме полок, производимых для свободной продажи, должна составлять не менее 15% (Д). К такому выводу приводят результаты маркетинговых исследований. Поскольку из всех полок В1 в свободную продажу поступит лишь , а полок A то это учитывается при составлении ограничения (2.14), которое после алгебраических преобразований принимает вид (2.15).

(2.14)

(2.15)

Определение количества комплектов для полок В1 и В2

Рассмотрим подробно вопрос определения максимально возможного количества комплектов для полок В1 и В2, которое можно произвести из ежемесячного запаса ДСП. В зависимости от размеров листов ДСП ( мм) и габаритов полок ( мм) детали полок В1 и В2 можно выкроить различными способами. Рассмотрим три возможных варианта такого раскроя, представленные на рис.2.3 (затемненные участки – это неиспользованная площадь ДСП).

Согласно 1-му варианту из одного листа ДСП для полок В1 и В2 можно выкроить 19 деталей верхней или нижней стенок, а также 9 деталей боковых стенок. По 2-му варианту раскроя получаем 12 деталей верхней или нижней стенок и 36 деталей боковых стенок. По 3-му варианту раскроя получаем 16 деталей верхней или нижней стенок и 18 деталей боковых стенок. Обозначим количество листов ДСП, раскроенных в течение месяца: по 1-му варианту через (лист./мес.); по 2-му варианту - (лист./мес.); по 3-му варианту – (лист./мес.). При производстве полок нам выгодно стремиться к такому раскрою листов ДСП, при котором из полученных деталей можно укомплектовать максимальное количество полок. Количество комплектов, получаемых из раскроенных деталей, мы ранее обозначили через . Таким образом, наша цель описывается целевой функцией

компл./мес.

20 верхних и нижних стенок,

16 боковых стенок 13 верхних и нижних стенок,

39 боковых стенок

8 верхних и нижних стенок,

21 боковых стенок

Рис.2.3. Возможные варианты раскроя листов ДСП

Количество всех раскроенных листов ДСП не должно превышать 400 (Z1), то есть ежемесячный запас их на складе:

лист./мес.

При этом, поскольку в каждый комплект входит одна верхняя и одна нижняя стенки, количество нижних и верхних стенок, получаемых при раскрое всех листов ДСП [левая часть (2.16)], должно быть не меньше чем :

(2.16)

Аналогичный смысл имеет ограничение (2.17), которое задает нижнюю границу количества боковых стенок полок:

(2.17)

После преобразования описанных неравенств получим модель задачи (2.18), позволяющую раскроить максимальное количество комплектов:

;

(2.18)

Таким образом, при решении задачи (2.18) симплекс-методом (например, в MS Excel) переменная непосредственно определяет значение ЦФ, а переменные , и влияют на изменение значения ЦФ косвенно, через ограничения. Решив задачу (2.18) для варианта 0, мы получим значение правой части ограничения (2.7) Y=3622 компл, после чего сможем решить исходную задачу, модель которой имеет вид:

(2.19)

Решив задачу (2.19), получаем

шт./мес., шт./мес., шт./мес.,

руб./мес.,

(2.20)

то есть в текущем месяце необходимо произвести 220 полок А и 755 полок В1, 255 полок В2. После реализации всех произведенных полок комбинат получит прибыль в размере 45 250 рублей.

введем данные

введем все ограничениям и условия

анализ данных/поиск решения

получим решение

получим все отчеты

Кроме того, необходимо учесть, что некоторые хлебопекарни имеют договоры на гарантированную поставку муки с определенных складов. В табл.1 это показано в графе \"Гарантированная поставка\" в формате № склада x № хлебопекарни = объем поставки. Например, «1x4=40» обозначает, что между складом №1 и магазином №4 заключен договор на обязательную поставку 40 т муки.

Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом по 50 кг.

Таблица 1

Номера складов, хлебопекарен, запрещенные и гарантированные поставки

№ Складов № Хлебопекарен Запрет перевозки Гарантированная

поставка, т/мес.

1, 2, 4 1, 2, 3, 5 1x5, 2x3 4x3=45

Таблица 2

Запасы, потребности и тарифы перевозок

Склады Хлебопекарни

1 2 3 4 5 Запас, т/мес.

1 400 600 800 200 200 80

2 300 100 500 600 500 70

3 500 200 100 600 300 60

4 300 700 200 400 900 55

5 200 500 800 200 400 65

Спрос, т/мес. 77,86 56,78 58,88 62,44 73,92

Определение переменных

Обозначим через [меш.] количество мешков с мукой, которые будут перевезены с i-го склада в j-ю хлебопекарню.

Проверка сбалансированности задачи

Прежде чем проверять сбалансированность задачи, надо исключить объем гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого вычтем 45 т из следующих величин:

• из запаса четвертого склада ;

• из потребности в муке третьей хлебопекарни

Согласно условию задачи мука хранится и перевозится в мешках по 50 кг, то есть единицами измерения переменных являются мешки муки. Но запасы муки на складах и потребности в ней магазинов заданы в тоннах. Поэтому для проверки баланса и дальнейшего решения задачи приведем эти величины к одной единице измерения – мешкам.

Запас муки на первом складе равен 80 т/мес. или

Запас муки на втором складе равен 70 т/мес. или

Запас муки на четвертом складе равен 10 т/мес. или

Потребность первой хлебопекарни составляет 77,86 т/мес., или Округление при расчете потребностей надо проводить в большую сторону, иначе потребность в муке не будет удовлетворена полностью.

Потребность второй хлебопекарни составляет 56,78 т/мес., или

Потребность третьей хлебопекарни составляет 13,88 т/мес., или

Потребность пятой хлебопекарни составляет 73,92 т/мес., или

Для данной ТЗ имеет место соотношение

.

Ежемесячный суммарный запас муки на складах меньше суммарной потребности хлебопекарен на 4451-3200=1251 мешков муки, откуда следует вывод: ТЗ не сбалансирована.

Построение сбалансированной транспортной матрицы

Сбалансированная транспортная матрица представлена в таблице 3. Стоимость перевозки муки должна быть отнесена к единице продукции, то есть к 1 мешку муки.

Тариф перевозки с первого склада в первую, вторую, третью и пятую хлебопекарни равен соответственно

Тариф перевозки со второго склада в первую, вторую, третью и пятую хлебопекарни равен соответственно

Тариф перевозки с четвертого склада в первую, вторую, третью и пятую хлебопекарни равен соответственно

Для установления баланса необходим дополнительная фиктивная хлебопекарня, то есть дополнительный столбец в транспортной таблице задачи. Фиктивные тарифы перевозки зададим таким образом, чтобы они были дороже реальных тарифов, например, 50,00 руб./меш.

Невозможность доставки грузов со второго склада во вторую хлебопекарню и с третьего склада в пятую хлебопекарню задается в модели с помощью запрещающего тарифа, который должен превышать величину фиктивного тарифа, руб./меш и руб./меш.

Таблица 3

Транспортная матрица задачи

Хлебопекарни Запас, мешки

Склады Х1 Х2 Х5 Х5

С1 20 30 40 100 1600

С2 15 5 100 25 1400

С4 15 35 10 45 200

Сф 50 50 50 50 1251

Потребность, мешки 1558 1136 278 1479 4451

Задание ЦФ

Формальная ЦФ, то есть суммарные затраты на все возможные перевозки муки, учитываемые в модели, задается следующим выражением:

При этом следует учитывать, что вследствие использования фиктивных тарифов реальная ЦФ (то есть средства, которые в действительности придется заплатить за транспортировку муки) будет меньше формальной ЦФ на стоимость найденных в процессе решения фиктивных перевозок.

Задание ограничений

(меш./мес.)

где .

Решение в Excel

Таблица 4

Ячейка Формула Примечание

A21 =СУММ(B14:E14)

A22 =СУММ(B15:E15)

A23 =СУММ(B16:E16)

A24 =СУММ(B17:E17)

A25 =СУММ(B14:B17)

A26 =СУММ(C14:C17)

A27 =СУММ(D14:D17)

A28 =СУММ(E14:E17)

F14 =СУММПРОИЗВ(B14:E17;B4:E7) Целевая функция

Таблица 5

Хлебопекарни Запас, мешки

Склады Х1 Х2 Х5 Хф

С2 20 30 40 100 1600

С3 15 5 100 25 1400

С4 15 35 10 45 200

С5 50 50 50 50 1251

Потребность, мешки 1558 1136 278 1479 4451

Транспортная задача

Хлебопекарни Целевая функция

Склады Х1 Х2 Х5 Хф

С2 0 0 0 0 0

С3 0 0 0 0

С4 0 0 0 0

С5 0 0 0 0

Ограничения

Левая часть Знак Запасы

0 = 1600

0 = 1400

0 = 200

0 = 1251

0 = 1558

0 = 1136

0 = 278

0 = 1479

Таблица 6

Хлебопекарни Запас, мешки

Склады Х1 Х2 Х5 Хф

С2 20 30 40 100 1600

С3 15 5 100 25 1400

С4 15 35 10 45 200

С5 50 50 50 50 1251

Потребность, мешки 1558 1136 278 1479 4451

Транспортная задача

Хлебопекарни Целевая функция

Склады Х1 Х2 Х5 Хф

С2 1558 0 42 0 109670

С3 0 1136 0 264

С4 0 0 200 0

С5 0 0 36 1215

Ограничения

Левая часть Знак Запасы

1600 = 1600

1400 = 1400

200 = 200

1251 = 1251

1558 = 1558

1136 = 1136

278 = 278

1479 = 1479

Учитывая объем гарантированной поставки с четвертого склада в третью хлебопекарню (45 т/мес. = 900 мешков), получим решение задачи:

При таком плане перевозок общая стоимость перевозок составит:

L(X)=109670+900*10= 118670 руб./мес.

ЮНИТИ, 1997.