«Методика изучения асимптотики решения одномерного оператора шредингера»

В работе рассматривается одномерное возмущенное уравнение Шредингера на собственные значения на положительной части полуоси с нулевым краевым условием в начале координат. Возмущением является потенциал, зависящий от малого параметра. При стремлении малого параметра к нулю носитель потенциала сжимается в некоторую фиксированную точку. Под предельным уравнением понимается уравнение без потенциала. Предполагается, что предельное уравнение имеет бесконечное число собственных значений [4].

Целью работы является построение формальной асимптотики собственных значений возмущенного уравнения при стремлении малого параметра к нулю. Построение асимптотики проводится методом согласования асимптотических разложений [1].

Построение формальной асимптотики

Рассматриваем задачу

(1)

(2)

- собственное значение,

-соответствующая собственная функция,

- малый положительный параметр,

х0 из интервала (0;+∞) – фиксированная точка,

W – известная функция, , ,

V – финитная бесконечно дифференцируемая функция носитель которой содержится в интервале (0;+∞).

Решение ищется в классе

Задачу (1), (2) будем называть возмущенной на собственные значения. Предельной для нее будем называть задачу

(3)

число будет называться собственным значением, а y0 соответствующей собственной функцией y0Î и

В ходе решение задачи мною была построена формальная асимптотика собственного значения возмущенного уравнения при стремлении малого параметра к нулю. Построение асимптотики проводила методом согласования асимптотических разложений [1].

1. А.М. Ильин Согласование асимптотических разложений решений краевых задач М.: Наука,1989.

2. В.А. Зорич Математический анализ. Часть 2. М.: «Наука», 1984.

3. Р. Р. Гадыльшин, И. Х. Хуснуллин. Возмущение оператора Шредингера узким потенциалом. Уфимск. матем. журн., 3:3 (2011), 55–66.

4. Ю. В. Егоров, М. А. Шубин, Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 30, ВИНИТИ, М., 1988.