«Математические методы в психологии ВАРИАНТ-5»

Задачи

№1. Построить гистограмму распределения частот, гистограмму накопленных частот. Определить меры центральной тенденции и меры изменчивости. Проверить полученное эмпирическое распределение на соответствие нормальному распределению.

Группа 2 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9

№2 Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню развития образного мышления.

№ п/п 5-6 лет 6-7 лет

1 8 14

2 6 14

3 9 8

4 10 9

5 6 10

6 8 11

7 8 8

8 7 14

9 11 10

10 11 14

11 12 14

12 14 14

№ 3. Достоверна ли связь между интеллектом ребенка и интеллектом родителя?

Семья IQ родителей IQ детей

1 90 100

2 90 90

3 90 95

4 95 90

5 95 95

6 95 100

7 100 105

8 100 90

9 100 95

10 105 105

11 105 110

12 105 100

13 110 115

14 115 105

15 115 100

16 115 115

17 120 110

18 120 125

19 125 120

20 125 110

Построить диаграмму рассеивания.

История.

Факторный анализ впервые возник в психометрике и в настоящее время широко используется не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, в экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа были заложены английским психологом и антропологом, основателем евгеники Гальтоном Ф. (1822—1911), внесшим также большой вклад в исследование индивидуальных различий. Но в разработку Факторного анализа внесли вклад многие ученые. Разработкой и внедрением факторного анализа в психологию занимались такие ученые как Спирмен Ч., Терстоун Л. и Кеттел Р., Пирсон К., Айзенк Г. Сегодня факторный анализ включён во все пакеты статистической обработки данных — R, SAS, SPSS, Statistica и т. д.

Задачи и возможности факторного анализа.

Факторный анализ позволяет решить две важные проблемы исследователя:

– описать объект измерения всесторонне и в то же время компактно,

– выявление скрытых переменных факторов, отвечающих за наличие линейных статистических корреляций между наблюдаемыми переменными.

Цели факторного анализа:

1) определение взаимосвязей между переменными, (классификация переменных), то есть «объективная R-классификация»;

2) сокращение числа переменных необходимых для описания данных.

Условия применения факторного анализа.

Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий. В обязательные условия факторного анализа входят:

– Все признаки должны быть количественными.

– Число наблюдений должно быть не менее чем в два раза больше числа переменных.

– Выборка должна быть однородна.

– Исходные переменные должны быть распределены симметрично.

– Факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.

Основные понятия факторного анализа.

Фактор — скрытая переменная.

Нагрузка — корреляция между исходной переменной и фактором.

Факторный анализ может быть:

разведочным — он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках;

конфирматорным, предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках.

Алгоритм анализа состоит из одних и тех же основных этапов:

1. Подготовка исходной матрицы данных.

2. Вычисление матрицы взаимосвязей признаков.

3. Факторизация (при этом необходимо указать количество факторов, выделяемых в ходе факторного решения, и метод вычисления). На этом этапе (как и на следующем) можно также оценить, насколько хорошо полученное факторное решение сближает исходные данные.

4. Вращение — преобразование факторов, облегчающее их интерпретацию.

5. Подсчет факторных значений по каждому фактору для каждого наблюдения.

6. Интерпретация данных.

В ходе выполнения факторного анализа какие-либо из указанных этапов можно опустить. Например, в качестве исходной матрицы данных можно использовать корреляционную матрицу или эквивалентную ей любую другую матрицу связей, подсчитанную в ходе какой-то другой вычислительной процедуры, и тогда работа начинается сразу со второго этапа.

Пример применения факторного анализа в психологии: ".Например, мы исследуем влияние на академическую успеваемость студентов различных психологических и социально-демографических параметров: личностных характеристик, мотивации, умственных способностей, социального происхождения, семейного положения, здоровья, физических характеристик и т. д. Каждая из этих областей задается множеством переменных; все переменные подвергаются анализу одновременно и независимо друг от друга. Анализ выявляет «связки» (подмножества) коррелирующих между собой переменных. Изучение этих «связок» (интерпретация результатов) позволяет выявить скрытые процессы, влияющие на успеваемость студентов. В ходе анализа может получиться так, что несколько переменных, характеризующих независимость личности, имеют высокие коэффициенты корреляции с переменными, измеряющими мотивацию и успеваемость. Это можно проинтерпретировать как положительное мотивирующее влияние на успеваемость фактора независимости личности.

Анализируя оценки, полученные по нескольким шкалам, исследователь замечает, что они сходны между собой и имеют высокий коэффициент корреляции, он может предположить, что существует некоторая латентная переменная, с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Такую латентную переменную называют фактором. Данный фактор влияет на многочисленные показатели других переменных, что приводит нас к возможности и необходимости выделить его как наиболее общий, более высокого порядка. Для выявления наиболее значимых факторов и, как следствие, факторной структуры, наиболее оправданно применять метод главных компонент (МГК).

Суть метода главных компонент состоит в замене коррелированных компонентов некоррелированными факторами. Другой важной характеристикой метода является возможность ограничиться наиболее информативными главными компонентами и исключить остальные из анализа, что упрощает интерпретацию результатов. Достоинство МГК также в том, что он — единственный математически обоснованный метод факторного анализа. По утверждению ряда исследователей МГК не является методом факторного анализа, поскольку не расщепляет дисперсию индикаторов на общую и уникальную. Основной смысл факторного анализа заключается в выделении из всей совокупности переменных только небольшого числа латентных независимых друг от друга группировок, внутри которых переменные связаны сильнее, чем переменные, относящиеся к разным группировкам.

Проблемы факторного анализа.

1. Проблема числа факторов. Это первая проблема при проведении факторного анализа. Обычно заранее неизвестно, сколько факторов необходимо и достаточно для представления данного набора переменных. Сама же процедура факторного анализа предполагает предварительное задание числа факторов. Следовательно, исследователь должен заранее определить или оценить их возможное количество. Для этого на первом этапе факторного анализа применяется анализ главных компонент и используется график собственных значений. Для определения числа факторов используется два критерия – критерий Кайзера и критерий отсеивания Кеттела. Эти критерии являются лишь примерным ориентиром, окончательное решение о числе факторов применяется после интерпретации факторов.

2. Проблема общности. Это вторая главная проблема факторного анализа. Общность – это часть дисперсии переменной, обусловленная действием общих факторов. Характерность – часть дисперсии, обусловленная спецификой данной переменной и ошибками измерений. Иными словами, общность – это вклад всех факторов в единичную дисперсию переменной. Проблема общностей заключается в том, что они как и число факторов, неизвестны до начала анализа, но должны каким-то образом задаваться заранее, так как величины факторных нагрузок зависят от величин общностей. В зависимости от решения этой проблемы различают разные методы факторного анализа, то есть, разные способы получения факторной структуры при заданном числе факторов. Наиболее часто применимые методы – анализ главных компонент, факторный анализ образов, метод главных осей, метод невзвешенных наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия.

3. Проблема вращения и интерпретации. Это третья основная проблема факторного анализа, решение которой связано с геометрическим представлением факторной структуры. Факторная структура может быть представлена в виде точек-признаков в пространстве факторов. Координаты точки – это факторные нагрузки. Осуществляют поворот осей, чтобы каждая переменная в результате вращения оказалась вблизи оси фактора (варимакс-вращение). В результате вращения каждая переменная имеет нагрузку только по одному фактору. По составу переменных производят интерпретацию факторов.

4. Проблема оценки значений факторов. После интерпретации факторной структуры допустима оценка значений факторов для объектов. Это позволяет перейти к существенно меньшему числу факторов как новых переменных. Это может понадобиться исследователю как для более компактного представления различий между объектами, так и для дальнейшего анализа – регрессионного, дисперсионного и т.д. Для оценки значения фактора используется линейная комбинация значений исходных переменных. Проблема состоит в том, что невозможно точно выразить общий фактор через исходные переменные, можно получить лишь оценку с различной надежностью, так как каждая из переменных содержит кроме общей характерную часть. Факторизация оценки будет тем надежнее, чем больше исходные переменные соответствуют требованиям, предъявляемым к метрическим переменным.

В заключение обзора математических идей и проблем метода следует отметить, что факторный анализ – сложная, но изящная математическая процедура, имеющая достаточное статистическое обоснование. Факторный анализ не добавляет новой информации к эмпирическим данным, только позволяет их интерпретировать.

Процедура вращения. Выделение и интерпретация факторов

Сущностью факторного анализа является процедура вращения факторов, то есть перераспределения дисперсии по определённому методу. Цель ортогональных вращений — определение простой структуры факторных нагрузок, целью большинства косоугольных вращений является определение простой структуры вторичных факторов, то есть косоугольное вращение следует использовать в частных случаях. Поэтому ортогональное вращение предпочтительнее.

Согласно определению Мюльека простая структура соответствует требованиям:

– в каждой строке матрицы вторичной структуры V должен быть хотя бы один нулевой элемент;

– для каждого столбца k матрицы вторичной структуры V должно существовать подмножество из r линейно-независимых наблюдаемых переменных, корреляции которых с k-м вторичным фактором — нулевые. Данный критерий сводится к тому, что каждый столбец матрицы должен содержать не менее r нулей.

– у одного из столбцов каждой пары столбцов матрицы V должно быть несколько нулевых коэффициентов (нагрузок) в тех позициях, где для другого столбца они ненулевые. Это предположение гарантирует различимость вторичных осей и соответствующих им подпространств размерности r—1 в пространстве общих факторов.

– при числе общих факторов больше четырёх в каждой паре столбцов должно быть некоторое количество нулевых нагрузок в одних и тех же строках. Данное предположение дает возможность разделить наблюдаемые переменные на отдельные скопления.

– для каждой пары столбцов матрицы V должно быть как можно меньше значительных по величине нагрузок, соответствующих одним и тем же строкам. Это требование обеспечивает минимизацию сложности переменных.

Вращение бывает:

ортогональным

косоугольным.

При первом виде вращения каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, поэтому факторы оказываются независимыми, некоррелированными друг от друга (к этому типу относится МГК). Второй вид — это преобразование, при котором факторы коррелируют друг с другом. Преимущество косоугольного вращения состоит в следующем: когда в результате его выполнения получаются ортогональные факторы, можно быть уверенным, что эта ортогональность действительно им свойственна, а не привнесена искусственно.

Существует около 13 методов вращения в обоих видах, в статистической программе SPSS 10 доступны пять: три ортогональных, одинкосоугольный и один комбинированный, однако из всех наиболее употребителен ортогональный метод «варимакс». Метод «варимакс» максимизирует разброс квадратов нагрузок для каждого фактора, что приводит к увеличению больших и уменьшению малых значений факторных нагрузок. В результате простая структура получается для каждого фактора в отдельности.

Для качественных данных используют группировку. Группировка состоит в основном в том, что объединяют данные с одинаковыми или близкими значениями в классы и определяют частоту для каждого класса. Способ разбиения на классы зависит от того, что именно экспериментатор хочет выявить при разделении измерительной шкалы на равные интервалы.

Меры центральной тенденции – характеристики совокупности переменных (признаков) указывающие на наиболее типичный, репрезентативный для изучаемой выборки результат. К мерам центральной тенденции относятся средне арифметическое, мода, медиана.

Среднее определяется по формуле:

Мода (Мо) – наиболее часто встречаемое значение вариационного ряда.

Варианты определения моды:

1. Если в вариационном ряду лишь одно значение встречается наиболее часто, то мода равна этому значению (варианте).

2. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и эта частота больше частот других значений, то мода вычисляется как средне арифметическое из этих двух значений.

3. Если два наиболее часто встречаемых значения находятся не рядом, между ними есть значение с меньшей частотой встречаемости, то распределение имеет две моды (бимодальное распределение).

Медиана (Ме) – значение вариационного ряда, делящее этот ряд на две равные части, так что количество значений справа от медианы, равно количеству значений слева от медианы.

Медиана рассчитывается по формуле:

,

где n - количество значений в вариационном ряду.

В нашем случае: N=9+1/2=5

Меры изменчивости – это статистические показатели вариации (разброса) признака (переменной) относительно среднего значения, степени индивидуальных отклонений от центральной тенденции распределения. К мерам изменчивости относятся: вариационный размах, дисперсия, стандартное отклонение.

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле:

ơ=√(1-5)2+ (2-5)2+( 3-5)2+(3-5)2+(3-5)2+(9-5)2+(4-5)2+

(9 -5)+(4-5)2+( 4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(5-5)2+

(6-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(7-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(9-5)2/21=1,97

Дисперсия рассчитывается по формуле:

S2=(1-5)2+ (2-5)2+( 3-5)2+(3-5)2+(3-5)2+(9-5)2+(4-5)2+

(9 -5)+(4-5)2+( 4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(5-5)2+

(6-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(7-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(9-5)2/21=3,9

Формула асимметрии:

А=(1-5)2+ (2-5)2+( 3-5)2+(3-5)2+(3-5)2+(9-5)2+(4-5)2+

(9 -5)2+(4-5)2+( 4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(5-5)2+

(6-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(7-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(9-5)2/22*1,973=0

Формула эксцесса:

Es=((1-5)4+ (2-5)4+( 3-5) 4+(3-5) 4+(3-5) 4+(9-5) 4+(4-5) 4+

(9 -54)+(4-5) 4+( 4-5)4+(4-5)4+(5-5)4+(5-5)4+(5-5)4+(5-5)4+

(6-5)4+(6-5)4+(6-5)4+(6-5)4+(7-5)4+(7-5)4+(7-5)4+(8-5)4+(9-5)4/22*1,974)-3=-0,24

Определим меры центральной тенденции и меры изменчивости:

Меры центральной тенденции (расчеты в Эксель)

Среднее 5

Стандартная ошибка 0,42

Медиана 5

Мода 4

Меры изменчивости (расчеты в Эксель)

Стандартное отклонение 1,97

Дисперсия выборки 3,904

Эксцесс -0,24

Асимметричность 0

Другие

Интервал 8

Минимум 1

Максимум 9

Сумма 110

Счет 22

По полигону частот мы видим, что распределение имеет нормальное распределение, поскольку:

1) мода, медиана и средне арифметическое равны или имеют близкие по величине значения;

2) показатели асимметрии и эксцесса равны нулю, As=0 и Еs=0.

3) крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине – достаточно часто, т.е. соблюдается правило трех сигм.