Дипломная работа
«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу»
- 114 страниц
Введение. 5
Глава 1. Топологические пространства. 6
§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств. . . 6
§2. Понятия в топологическом пространстве. База топологии. . 7
§3. Структура открытых множеств и окрестностей. . . . . . . . 10
§4. Метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§5. Замыкание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§6. Внутренние точки, внутренние границы. . . . . . . . . . . . 14
§7. Сепарабельное топологические пространства . . . . . . . . . 16
§8. Индуцированная топология. Отделимые пространства. . . . 18
§9. Непрерывное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§10. Компактные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Глава 2. Свойства метрических пространств. 22
§1. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. 22
§2. Критерий полноты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§3. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема
Хаусдорфа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§4. Отображение компактных множеств. . . . . . . . . . . . . . 31
§5. Критерий компактности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
§6. Принцип сжимающих отображений и его применение. . . . . 36
§7. Теорема Бэра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава 3. Мера и измеримые множества. 41
§1. Измеримые множества. Мера. Системы множеств. . . . . . . 41
§2. Cистема множеств в евклидовом пространстве. . . . . . . . 42
§3. Функции множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§4. Мера и её простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве.
45
§5. Внешняя мера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§6. Измеримые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§7. Сходимость почти всюду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§8. Сходимость по мере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§9. Единственность предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Глава 4. Интеграл Лебега. 60
§1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на
пространстве с конечной мерой. . . . . . . . . . . . . . . . 60
§2. Свойства интеграла( от ограниченных функций). . . . . . . 63
§3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае. . . . 67
§4. Предельный переход под знаком интеграла. . . . . . . . . . . 71
§5. Лемма Фату. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Глава 5. Нормированные и гильбертовы пространства. 75
§1. Нормированное линейное пространство. . . . . . . . . . . . . 75
§2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность.
Теорема Рисса локальной компактности. . . . . . . . . . . 77
§3. Гильбертово пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§4. Ортогональность и ортогональное дополнение . . . . . . . . 79
§5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . 80
Глава 6. Линейные операторы в нормированных пространст-
вах. 83
§1. Линейные операторы, непрерывность, ограниченность. . . . 83
§2. Пространство всех линейных непрерывных операторов. . . . 85
§3. Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза. 86
§4. Обратные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§5. Замкнутый оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§6. Теорема Банаха о замкнутом графике. . . . . . . . . . . . . 91
§7. Сопряженные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§8. Сопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§9. Самосопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Глава 7. Спектральная теория операторов. 100
§1. Вполне непрерывный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
§2. Уравнения первого и второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . 101
§3. Альтернативы Фредгольма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§4. Спектр и резольвента. Теорема Гильберта - Шмидта. . . . . 108
Заключение. 113
Литература 114
Данная выпускная квалификационная работа представляет собой курс лекций по дисциплине
"Функциональный анализ и может быть использована при подготовке к занятиям. В ее основу положены лекции, прочитанные студентам специальностей "Прикладная математика и инфор-
матика". В работе изложены основные понятия, определения, свойства и теоремы, доказательства перечисленных выше разделов.
Для создания дипломной работы используется текстовый редактор LaTeX, который имеет ряд преимуществ таких, как включение в текст сколь угодно сложных математических формул, которые прекрасно смотрятся на печати; при печати получается текст типографического качества и т.д.
Весь курс лекций подразделен на семь глав, которые подразделяютсяна параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, замечаниям, примерам. В первой главе рассматриваются топологические пространства. Во второй главе изучается свойства метрических пространств. Рассматриваются такие теоремы как: Теорема Хаусдорфа, теорема Бэра. В третьей главе изучаются мера и измеримые множества. В ней рассматриваются такие темы как: измеримые множества, мера, системы множе ств в евклидовом пространстве, внешняя мера, измеримые множества, сходимости, единственность предела. В четвертой главе изучается интеграл Лебега. В эту главу включены такие
темы как: интеграл Лебега, свойства интеграла Лебега, лемма Фату. В пятой главе рассматриваются нормированные и гильбертовы пространства.
В шестой главе линейные операторы в нормированных пространствах. В седьмой главе рассматривается спектральная теория операторов.
ГЛАВА 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств.
В курсе функциональный анализ будут рассматриваться множества чисел, множества точек, множества линий, множества функций и т.п.
Множества обозначаются большими буквами A,B,C,M и т.д. Объекты, из которых состоит множество называются элементами множества. Мы будем обозначать их малыми буквами: a, b, c. Запись a ∈ A означает, что a есть элемент множества A. Запись ∅ – пустое множество. Запись A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A называют подмножеством
множества B. Запись ∪
A - объединение множеств. Запись ∩
A - пересечение множеств. Запись ∞Σn=1
An - дизъюнктное объединение множеств.
Отображением φ множества M1 в множество M2 обозначается: φ : M1 → M2. Образ элемента x при отображении φ обозначается: x : φ(x) Совокупность всех тех элементов a ∈ M1, образом которых является данный элемент b ∈ M2, называется прообразом элемента b при отображении φ : M1 → M2 и обозначается через φ−1(b). Таким образом, φ−1(b) = {a ∈ M1 : φ(a) = b}. Отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией,если φ(M1) = M2.
Теорема 1.1. (о прообразах). Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов со ответственно:
ϕ−1(A ∪ B) = ϕ−1(A) ∪ ϕ−1(B)
ϕ−1(A ∩ B) = ϕ−1(A) ∩ ϕ−1(B)
Теорема 1.2. (об образах). Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:
ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) ∪ ϕ(B)
Основными источниками при написании выпускной квалификационной работы послужили конспекты лекций по функциональному анализу. Данная работа была набрана и отредактирована в среде LaTeX. Для изучения данной программы использовались следующие монографии:
К.В. Воронцов "LATEX в примерах"и С.М. Львовский "Набор и верстка в системе LaTeX".
В результате проделанной работы был составлен обзор по курсу функциональный анализ. Работа содержит необходимый теоретический материал в виде основных понятий, теорем, доказательств.
Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу функциональный анализ для студентов специальностей "Прикладная математика и информатика".
[1] В. Босс. Лекции по математике, том5 – М.: Наука, 2005. - 448с.
[2] Б. З. Вулих. Введение в функциональный анализ – М.: Наука, 1967. - 296с.
[3] А. Н. Колмагоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа – М.: Наука, 2004. - 329с.
[4] С.С. Кутателадзе. Основы функционального анализа – М.: Наука, 2000. - 466с.
[5] Л. В. Канторович, Г.П. Акимов. Функциональный анализ – М.: Наука, 1984. - 208с.
[6] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. – М.: Наука, 1982.
[7] С.М. Львовский. Набор и верстка в пакете LaTeX. – М.: МЦНМО, 2003.
[8] К.В. Воронцов. LaTeX в примерах, 2005.
Форматы: *.pdf, *.tex *
| Тема: | «Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу» | |
| Раздел: | Математика | |
| Тип: | Дипломная работа | |
| Страниц: | 114 | |
| Цена: | 1900 руб. |
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
- Цены ниже рыночных
- Удобный личный кабинет
- Необходимый уровень антиплагиата
- Прямое общение с исполнителем вашей работы
- Бесплатные доработки и консультации
- Минимальные сроки выполнения
Мы уже помогли 24535 студентам
Средний балл наших работ
- 4.89 из 5
написания вашей работы
У нас можно заказать
(Цены могут варьироваться от сложности и объема задания)
682 автора
помогают студентам
42 задания
за последние сутки
10 минут
время отклика
Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «геометрия» для студентов направления «прикладная математика и физика»
Дипломная работа:
Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу “Евклидово пространство” для студентов направления “Педагогическое образование”
Дипломная работа:
Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу Евклидово пространство
Дипломная работа:
Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу функциональный анализ для направления прикладная математика и информатика
