«Приложениe математики в генетике»

На наш взгляд, математическое образование медиков и биологов должно, с одной стороны, давать им понятие об основных идеях и языке математики, о том, что может и чего не может математика, а с другой – дать им такой набор «ремесленных» приемов и методов, которые позволяли бы им самим решать свои задачи, обращаясь к профессионалам лишь в сложных и нестандартных случаях. Мы не думаем, что эта проблема может быть легко и быстро решена, но решать ее нужно.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках (в том числе и генетике).

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами. Если элемент принадлежит множеству A, то это обозначается:

Если каждый элемент множества B является также и элементом множества A, то говорят, что множество B является подмножеством множества A:

Подмножество B множества A называется собственным подмножеством, если

Используя понятие множества можно построить более сложные и содержательные объекты.

Операции над множествами

Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Определение 1. Объединением двух множеств называется новое множество

Определение 2. Пересечением двух множеств называется новое множество

Определение 3. Разностью двух множеств называется новое множество

Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), то дополнением множества A называют разность

Декартово произведение множеств

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово произведение множеств.

Пусть A и B - множества. Выражение вида (a,b), где и , называется упорядоченной парой. Равенство вида (a,b)=(c,d) означает, что a=c и b=d. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку из элементов . Упорядоченные n-ки иначе называют наборы или кортежи.

Определение 4. Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

Определение 5. Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества одинаковы, то используют обозначение

.

Отношение

Определение 6. Подмножество R декартового произведения множеств называется отношением степени n (n-арным отношением).

Определение 7. Мощность множества кортежей, входящих в отношение R, называют мощностью отношения R.

Замечание. Понятие отношения является очень важным не только с математической точки зрения. Понятие отношения фактически лежит в основе всей реляционной теории баз данных. Как будет показано ниже, отношения являются математическим аналогом таблиц. Сам термин \"реляционное представление данных\", впервые введенный Коддом [43], происходит от термина relation, понимаемом именно в смысле этого определения.

Т.к. любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1. Это не очень интересный пример, свидетельствующий лишь о том, что термины \"отношение степени 1\" и \"подмножество\" являются синонимами. Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1. Ключевыми здесь являются два момента:

Во-первых, все элементы отношения есть однотипные кортежи. Однотипность кортежей позволяет считать их аналогами строк в простой таблице, т.е. в такой таблице, в которой все строки состоят из одинакового числа ячеек и в соответствующих ячейках содержатся одинаковые типы данных. Например, отношение, состоящее из трех следующих кортежей {(1, \"Иванов\", 1000), (2, \"Петров\", 2000), (3, \"Сидоров\", 3000)} можно считать таблицей, содержащей данные о сотрудниках и их зарплатах. Такая таблица будет иметь три строки и три колонки, причем в каждой колонке содержатся данные одного типа.

В противоположность этому рассмотрим множество {(1), (1, 2), (1, 2, 3)}, состоящее из разнотипных числовых кортежей. Это множество не является отношением ни в R, ни в , ни в . Из кортежей, входящих в это множество нельзя составить простую таблицу. Правда, можно считать это множество отношением степени 1 на множестве всех возможных числовых кортежей всех возможных степеней , но такая трактовка ничего нового, по сравнению с понятием подмножества, не дает.

Во-вторых. За исключением крайнего случая, когда отношение есть само декартово произведение , отношение включает в себя не все возможные кортежи из декартового произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие - нет. Этот критерий, по существу, определяет для нас смысл (семантику) отношения.

Действительно, каждому отношению можно поставить в соответствие некоторое логическое выражение , зависящее от n параметров (n-местный предикат) и определяющее, будет ли кортеж принадлежать отношению R. Это логическое выражение называют предикатом отношения R. Более точно, кортеж принадлежит отношению R тогда и только тогда, когда предикат этого отношения принимает значение \"истина\". В свою очередь, каждый n-местный предикат задает некоторое n-арное отношение. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между n-арными отношениями и n-местными предикатами.

Если это не вызывает путаницы, удобно и отношение, и его предикат обозначать одной и той же буквой. Например, отношение R имеет предикат .

Примеры отношений

Бинарные отношения (отношения степени 2)

В математике большую роль играют бинарные отношения, т.е. отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств .

Отношение эквивалентности

Определение 8. Отношение R на множестве называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1. для всех (рефлексивность)

2. Если , то (симметричность)

3. Если и , то (транзитивность)

Обычно отношение эквивалентности обозначают знаком или и говорят, что оно (отношение) задано на множестве A(а не на ). Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

1. для всех (рефлексивность)

2. Если , то (симметричность)

3. Если и , то (транзитивность)

Легко доказывается, что если на множестве A задано отношение эквивалентности, то множество A разбивается на взаимно непересекающиеся подмножества, состоящие из эквивалентных друг другу элементов (классы эквивалентности).

Пример 1. Рассмотрим на множестве вещественных чисел отношение, заданное просто равенством чисел. Предикат такого отношения:

, или просто x=y

Условия 1-3, очевидно, выполняются, поэтому данное отношение является отношением эквивалентности. Каждый класс эквивалентности этого отношения состоит из одного числа.

Пример 2. Рассмотрим более сложное отношение эквивалентности. На множестве целых чисел Z зададим отношение \"равенство по модулю n\" следующим образом: два числа a и b равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны. Например, по модулю 5 равны числа 2, 7, 12 и т.д.

Условия 1-3 легко проверяются, поэтому равенство по модулю является отношением эквивалентности. Предикат этого отношения имеет вид:

Классы эквивалентности этого отношения состоят из чисел, дающих при делении на n одинаковые остатки. Таких классов ровно n:

[0] = {0, n, 2n, …}

[1] = {1, n+1, 2n+1, …}

…

[n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}

Отношения порядка

Определение 9. Отношение R на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:

1. для всех (рефлексивность)

2. Если и , то x=y (антисимметричность)

3. Если и , то (транзитивность)

Обычно отношение порядка обозначают знаком . Если для двух элементов x и y выполняется , то говорят, что x \"предшествует\" y. Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

1. для всех (рефлексивность)

2. Если и , то x=y(антисимметричность)

3. Если и , то (транзитивность)

Пример 3. Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством на множестве вещественных чисел R. Заметим, что для любых чисел x и y выполняется либо , либо , т.е. любые два числа сравнимы между собой. Такие отношения называются отношениями полного порядка.

Предикат данного отношения есть просто утверждение .

Пример 4. Рассмотрим на множестве A всех сотрудников некоторого предприятия отношение, задаваемое следующим образом: сотрудник x предшествует сотруднику y тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• x=y

• x является начальником (не обязательно непосредственным) y

Назовем такое отношение \"быть начальником\". Легко проверить, что отношение \"быть начальником\" является отношением порядка. Заметим, что в отличие от предыдущего примера, существуют такие пары сотрудников x и y, для которых не выполняется ни , ни (например, если x и y являются сослуживцами). Такие отношения, в которых есть несравнимые между собой элементы, называют отношениями частичного порядка.

Функциональное отношение

Определение 10. Отношение R на декартовом произведении двух множеств называется функциональным отношением, если оно обладает следующим свойством:

1. Если и , то y=z (однозначность функции).

Обычно, функциональное отношение обозначают в виде функциональной зависимости - тогда и только тогда, когда y=f(x). Функциональные отношения (подмножества декартового произведения!) называют иначе графиком функции или графиком функциональной зависимости.

Предикат функционального отношения есть просто выражение функциональной зависимости y=f(x).

Рассмотрим несколько практических приложений теории вероятностей.

Как говорилось выше, с ростом числа испытаний данной серии частота появления события стремится к его вероятности. Значит, по известной вероятности можно прогнозировать частоту повторения интересующего нас события в будущем. При этом вероятность может быть найдена любым из известных нам способов (в том числе оценена по уже имеющейся частоте).

Пример 1. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 000 деталей?

По результатам контроля можно оценить вероятность события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

Р(А)

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0,005 = 125 бракованных.

Пример 2. Население города Уфы составляет около 1000 000 жителей. Сколько уфимцев родились 29 февраля?

Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 1000 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года. Найдем вероятность того, что случайно выбранный уфимец родился 29 февраля следовательно. Воспользуемся классическим определением вероятности:

=0,00068

Это значит, что среди 1000 000 жителей Уфы следует ожидать около человека, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

На прогнозировании частоты основан один интересный способ определения численности популяций, используемый в биологии.

Пример 3. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов — на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

Решить задачу алгебраическими методами не возможно, однако методами теории вероятностей это сделать достаточно несложно.

В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N. Всего помеченных рыб после первого отлова в озере стало 86. Тогда вероятность события А = {выловленная во второй раз рыба оказалась помеченной}, можно вычислить по формуле классической вероятности: . С другой стороны, относительная частота события А равна: W(A) = . Так как , имеем приближенное равенство: . Отсюда имеем: . Таким образом, основываясь на результатах проведенных испытаний, мы получили, что в озере приблизительно живет 1118 рыб.

Сравнивая вероятности всех возможных исходов испытания, можно предсказать, каким из них эксперимент закончится скорее всего. Обратите внимание, что мы говорим «скорее всего», а не «наверняка» — ведь любой статистический прогноз может оказаться ошибочным.

Пример 4. Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?

Используя алгоритм вычисления вероятности в КСИ можно найти вероятности появления всех возможных сумм при бросании двух игральных кубиков:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Так как вероятность выпадения суммы 7 на двух игральных кубиках самая большая, то при бросании двух игральных кубиков семь очков будет выпадать чаще, чем все остальные суммы.

Замечание. Рассмотренные примеры относятся к двум важнейшим типам статистических задач:

- оценка частоты появления события по известной вероятности;

- прогнозирование наиболее вероятного исхода данного испытания.

Рассмотрим теперь пример задачи, в которой по полученным в результате проведенного испытания данным нужно проверить правильность выдвинутой гипотезы.

Пример 5. В 10 бросаниях монеты было получено 9 «орлов». Следует ли считать монету правильной?

В условии задачи поставлена под сомнение гипотеза о правильности подбрасываемой монеты.

Если бы монета была правильной, т.е. выпадение «орла» и «решки» были бы равновозможными, то получить 9 или 10 «орлов» в 10 бросаниях можно было бы с вероятностью .

Значит, в результате опыта произошло очень редкое, маловероятное событие. В то же время, если предположить, что монета неправильная и вероятность выпадения «орла» на ней больше, чем , то произошедшее событие уже не будет таким невероятным. Это дает нам все основания считать, что монета несимметричная.

Замечание. Рассмотренная выше задача относится к широкому классу статистических задач по проверке статистических гипотез.

9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М., Наука, 1971. - 322 с.

10. Новиков П.С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973, 400 с.