Дипломная работа

«Методика исследования параболического уравнения второго порядка»

  • 23 страниц(ы)
  • 1581 просмотров
фото автора

Автор: navip

Введение 3

1. Вспомогательные утверждения 6

2. Доказательство теоремы 1 14

3. Оценки характеристик N(r) и p∗ 20

Список литературы 22

2

Пусть Ω - произвольная неограниченная область пространства Rn, n > 2, x =

(x1, x2, ., xn) ∈ Rn. В цилиндрической области D = {t > 0} × Ω рассмотрим

линейное параболическое уравнение второго порядка:

Ut =

Σn

i;j=1

(aij(t, x)Uxi)xj . (1)

Коэффициенты уравнения aij(t, x) - измеримые функции, удовлетворяющие

условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные γ, Γ

такие, что для любого вектора y = (y1, ., y2) ∈ Rn и почти для всех (t, x) ∈ D

справедливы неравенства:

γ|y|2 ≤

Σn

i;j=1

aij(t, x)yiyj ≤ Γ|y|2. (2)

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (14) с начально-краевыми

условиями:

U(t, x) |{t>0}×@Ω= 0; (3)

U(0, x) = φ(x). (4)

Дипломная работа посвящена изучению зависимости скорости убывания L2-

нормы решения задачи (1)- (4) от геометрических характеристик неограниченной

области. Такая задача рассматривалась многими авторами: Мукминовым Ф.Х.

(1980 г.), Кожевниковой Л.М. (2000 г.), Гилимшиной В.Ф. (2008 г.).

В дипломной работе предлагается для получения оценки сверху использовать

следующие понятия λ-последовательности.

Неограниченная возрастающая последовательность положительных чисел {yj}∞j=0

называется λ-последовательностью задачи (1)- (4), если существует число θ > 1

такое, что справедливо неравенство:

1. Вспомогательные утверждения

Введем обозначение:Db

a = (a, b) × Ω. Гильбертово пространство ˜W 1;1

2 (DT ) опре-

делим как пополнение множества всех гладких в DT функций с ограниченным

носителем, равных нулю в окрестности боковой по верхности ∂Ω × (0, T), по нор-

ме

∥u∥2

˜W

1;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT + ∥ut∥2

DT ,

гильбертово пространство ˜W 0;1

2 (DT ) как пополнение того же множества функций

по норме

∥u∥2

˜W

0;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT .

Определение. Обобщенным решением задачи (1), (3), (4) в DT будем называть

функцию

u(t, x) ∈ ˜W 0;1

2 (DT ),

удовлетворяющую интегральному тождеству

DT

(−uvt +

Σn

i;j=1

aij(t, x)uxivxj )dxdt =

Ω

φ(x)v(0, x)dx (14)

для любой функции v(t, x) ∈ ˜W 1;1

2 (DT ) такой, что v(T, x) = 0.

Функция u(t, ) - решение задачи (1), (3), (4) в D, если при всех T > 0 она

является решением задачи (1), (3), (4) в DT .

Решение задачи (1), (3), (4) существует и единственно. Существование доказы-

вается методом Галеркина [1, с.181-186].

Установим неравенство Фридрихса.

6

Рассмотрим функцию f ∈ C1[0, 1] такую, что f(0) = 0.

f(x) = f(x) − f(0) =

∫x

0

f′(t)dt по формуле Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим область

Ω[f] = {(x1, x2, x′′) ∈ Rn/x1 > 0, |x2| < f(x1)}. (38)

Последовательность {yi} назовем Π-последовательностью, если существует такое

число ν, что:

ν(yi+1 − yi) = min{f(x), x ∈ [yi, yi+1]}. (39)

Утверждение 3. Π -последовательность является λ-последовательностью.

Доказательство. По неравенству (1.10):

(3 + 4ν)(yi+1 − yi)2λi+1

i .

Это и есть определение λ-последовательности.

Очевидно, что Π-последовательность с равенством (3.2) можно построить все-

гда, начиная с любой точки y0 при любом ν ≥ 1.

Возьмем ν ≥ 1.

yi+1 ∫

yi

dx

f(x) ≤

yi+1 − yi

min f(x)

=

1

ν

.

Складывая, получаем

yN ∫

y0

dx

f(x) ≤

N

ν

. (40)

Пусть ρm(y)-радиус наибольшего полукруга, помещенного под графиком функ-

ции y = f(x), x ≤ y. С

[1] Ладыженская О.А.,Солонников В.А.,Уральцева Н.Н. Линейные и квазили-

нейные уранения парболического типа. М.:Наука, 1967.

[2] Кожевникова Л.М. Стабилизация решений первой смешанной задачи для

параболических уравнений и систем с младшими членами//Кандидатская дисс. –

2000. - 123с.

[3] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.:

Наука, 1983. - 424 с.

[4] Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для па-

раболического уравнения второго порядка//Матем. сб. - 1980. - Т.111(153). - №4.

- С.503-521.

[5] Кульсарина Н.А., Гилимшина В.Ф. Точная оценка скорости убывания реше-

ния параболического уравнения второго порядка при t → ∞ // Известия высших

учебных заведений. Математика. №4, 2007. C. 35–44.

[6] Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations Amer.J. Math.

1958. V.80. P.931-953.

22

Примечания к работе

Форматы: *.pdf, *.tex

К работе прилагается презентация

Покупка готовой работы
Тема: «Методика исследования параболического уравнения второго порядка»
Раздел: Математика
Тип: Дипломная работа
Страниц: 23
Цена: 1300 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы

Не подошла эта работа?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Другие работы автора
Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

682 автора

помогают студентам

23 задания

за последние сутки

10 минут

среднее время отклика