«Методика исследования параболического уравнения второго порядка»

Пусть Ω - произвольная неограниченная область пространства Rn, n > 2, x =

(x1, x2, ., xn) ∈ Rn. В цилиндрической области D = {t > 0} × Ω рассмотрим

линейное параболическое уравнение второго порядка:

Ut =

Σn

i;j=1

(aij(t, x)Uxi)xj . (1)

Коэффициенты уравнения aij(t, x) - измеримые функции, удовлетворяющие

условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные γ, Γ

такие, что для любого вектора y = (y1, ., y2) ∈ Rn и почти для всех (t, x) ∈ D

справедливы неравенства:

γ|y|2 ≤

Σn

i;j=1

aij(t, x)yiyj ≤ Γ|y|2. (2)

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (14) с начально-краевыми

1. Вспомогательные утверждения

Введем обозначение:Db

a = (a, b) × Ω. Гильбертово пространство ˜W 1;1

2 (DT ) опре-

делим как пополнение множества всех гладких в DT функций с ограниченным

носителем, равных нулю в окрестности боковой по верхности ∂Ω × (0, T), по нор-

ме

∥u∥2

˜W

1;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT + ∥ut∥2

DT ,

гильбертово пространство ˜W 0;1

2 (DT ) как пополнение того же множества функций

по норме

∥u∥2

˜W

0;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT .

Определение. Обобщенным решением задачи (1), (3), (4) в DT будем называть

Рассмотрим область

Ω[f] = {(x1, x2, x′′) ∈ Rn/x1 > 0, |x2| < f(x1)}. (38)

Последовательность {yi} назовем Π-последовательностью, если существует такое

число ν, что:

ν(yi+1 − yi) = min{f(x), x ∈ [yi, yi+1]}. (39)

Утверждение 3. Π -последовательность является λ-последовательностью.

Доказательство. По неравенству (1.10):

(3 + 4ν)(yi+1 − yi)2λi+1

i .

Это и есть определение λ-последовательности.

Очевидно, что Π-последовательность с равенством (3.2) можно построить все-

гда, начиная с любой точки y0 при любом ν ≥ 1.

Возьмем ν ≥ 1.

yi+1 ∫

yi

[1] Ладыженская О.А.,Солонников В.А.,Уральцева Н.Н. Линейные и квазили-

нейные уранения парболического типа. М.:Наука, 1967.

[2] Кожевникова Л.М. Стабилизация решений первой смешанной задачи для

параболических уравнений и систем с младшими членами//Кандидатская дисс. –

2000. - 123с.

[3] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.:

Наука, 1983. - 424 с.

[4] Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для па-

раболического уравнения второго порядка//Матем. сб. - 1980. - Т.111(153). - №4.

- С.503-521.

[5] Кульсарина Н.А., Гилимшина В.Ф. Точная оценка скорости убывания реше-

Форматы: *.pdf, *.tex

К работе прилагается презентация