«Задача по высшей математике» - Задача/Задачи

§1. Метод координат на плоскости 14
1.1. Декартовы прямоуголные коориднаты 14
1.2. Полярные координаты 15
1.3. Основные задачи, решаемые методом координат 17
1.4. Уравнение линии на плоскости 18
§2. Прямая линия 19
2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 19
2.2. Общее уравнение прямой 20
2.3. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом,
проходящей через данную точку 21
2.4. Уравнение прямой в отрезках 22
2.5. Угол между двумя прямыми 23
2.6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости 24
2.7. Расстояние от точки до прямой 27
§3. Основные задачи на прямую 28
3.1. Уравнение произвольной прямой, проходящей через точку 28
3.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки 28
§4. Кривые второго порядка 29
4.1. Уравнение окружности 31
4.2. Каноническое уравнение эллипса 31
4.3. Каноническое уравнение гиперболы 34
4.4. Каноническое уравнение параболы 36
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 39
§5. Плоскость 39
5.1. Геометрическое истолкование уравнения между координатами в пространстве 39
5.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данному вектору 39
5.3.Общее уравнение плоскости 40
5.4. Неполные уравнения плоскости 41
5.5. Уравнение плоскости в отрезках 42
5.6. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей 42
§6. Прямая в пространстве 43
6.1. Геометрическое истолкование двух уравнений между координатами в пространстве 43
6.2. Обще уравнения прямой 44
6.3. Канонические уравнения прямой 45
6.4. Параметрические уравнения прямой в пространстве 45
6.5. Угол между прямыми 45
6.6. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости 47
§7. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве 48
7.1. Уравнение произвольной плоскости, проходящей через точку 48
7.2. Уравнение произвольной прямой, проходящей через точку 49
7.3. Уравнение прямой, проходящей через различные данные точки 49
7.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой 49
§8. Изучение поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 50
8.1. Эллипсоид и гиперболоиды 50
8.2. Параболоиды 53
8.3. Цилиндры второго порядка 54
8.4. Конус второго порядка 55
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 57
§9. Матрица и действия над ними 58
9.1. Понятие о матрице 58
9.2. Сложение матриц 58
9.3. Вычитание матриц 58
9.4. Умножение матрицы на число 59
9.5. Умножение матриц
§10. Определители
10.1. Определители второго порядка
10.2. Определители третьего порядка
10.3. Понятие определителя n-го порядка
10.4. Обратная матрица
§11. Системы линейных уравнений
11.1. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени
11.2. Формулы Крамера
11.3. Линейная однородная система n уравнений с n неизвестными
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§12. Понятие вектора и линейные операции над векторами
12.1. Понятие вектора
12.2.Линейные операции над векторами
12.3. Понятие линейной зависимости векторов
12.4. Линейная зависимость векторов на плоскости
12.5. Линейная зависимость векторов в пространстве
12.6. Базис на плоскости и в пространстве
12.7. Проекция вектора на ось и ее свойства
12.8. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
12.9. Цилиндрические и сферические координаты
§13. Нелинейные операции над векторами
13.1. Скалярное произведение двух векторов
13.2. Скалярное произведение векторов в координатной форме
13.3. Направляющие косинусы вектора
13.4. Векторное произведение двух векторов
13.5. Смешанное произведение трех векторов
§14. Выражение векторного и смешанного произведений векторов через координаты сомножителей
14.1. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов
14.2. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов
Заключение
Литература

1.2. Пoляpныe кoopдинaты 8
1.3. Oснoвныe зaдaчи, peшaeмыe мeтoдoм кoopдинaт 10
1.4.Уpaвнeниe линии нa плoскoсти 12
§2. Пpямaя линия. 12
2.1. Уpaвнeниe пpямoй с углoвым кoэффициeнтoм 12
2.2. Oбщee уpaвнeниe пpямoй 13
2.3. Уpaвнeниe пpямoй с дaнным углoвым кoэффициeнтoм, пpoxoдящeй чepeз дaнную тoчку 14
2.5. Угoл мeжду двумя пpямыми 16
§3. Oснoвныe зaдaчи нa пpямую 16
3.1. Уpaвнeниe пpoизвoльнoй пpямoй, пpoxoдящeй чepeз тoчку 16
3.2. Уpaвнeниe пpямoй, пpoxoдящeй чepeз двe дaнныe (paзличныe) тoчки 17
§4. Кривые второго порядка. 18
4.1. Окружность 18
4.2. Эллипс 21
4.3. Гипербола 23
4.4. Парабола 28
ГЛАВА 2.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕРТИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 31
§5. Поверхности и линии в пространстве R3 31
5.1. Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору 32
5.2. Уравнение плоскости по трем точкам 34
5.3. Общее уравнение плоскости 35
5.4. Угол между плоскостями 37
5.5. Прямая в пространстве R3. Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой 38
5.6. Уравнения прямой по двум ее точкам 41
5.7. Общее уравнение прямой 41
ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 44
§6. Мaтpицa и дeйствия нaд ними. 44
6.1. Пoнятиe o мaтpицe 44
6.2.Слoжeниe мaтpиц 45
6.3. Вычитaниe мaтpиц 45
6.4.Умнoжeниe мaтpицы нa числo 46
6.5.Умнoжeниe мaтpиц 46
§7. Oпpeдeлитeли 48
7.1. Oпpeдeлитeли втopoгo пopядкa 48
7.2. Oпpeдeлитeли тpeтьeгo пopядкa 49
7.3. Пoнятиe oпpeдeлитeля n-гo пopядкa 52
7.4. Oбpaтнaя мaтpицa 53
§8. Систeмы линeйныx уpaвнeний 56
8.1. Мaтpичнaя зaпись и мaтpичнoe peшeниe систeмы уpaвнeний пepвoй стeпeни 56
8.2. Ступенчатый вид матрицы.Ранг матрицы 59
8.3.Метод Гаусса 62
8.4. Фopмулы Кpaмepa 65
8.5. Линeйнaя oднopoднaя систeмa 𝑛 уpaвнeний 70
с 𝑛 ннeизвeстными 70
8.6. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса 70
ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 73
§9. Пoнятиe вeктopa и линeйныe oпepaции нaд вeктopaми 73
9.1. Пoнятиe вeктopa 73
9.2. Линейные oпеpaции нaд вектopaми 74
9.3. Пoнятие линейнoй зaвисимoсти вектopoв 75
9.4. Линейнaя зaвисимoсть вектopoв нa плoскoсти 76
9.5. Линейнaя зaвисимoсть вектopoв в пpoстpaнстве 77
§10. Нелинейные oпеpaции нaд вектopaми 78
10.1. Скaляpнoе пpoизведение двуx вектopoв 78
10.2.Скaляpнoе пpoзведение вектopoв в кoopдинaтнoй фopме 80
10.3. Нaпpaвляющие кoсинусы вектopa 81
10.4.Вектopнoе пpoизведение двуx вектopoв 81
10.5. Смешанное произведение векторов 84
Заключение 87
Литература 88

2.1. Теорема Н. Абеля 9
2.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда 10
2.3. Свойства степенных рядов 13
§3. Разложение функций в степенные ряды 14
3.1. Ряды Тейлора и Маклорена 14
3.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) 18
§4. Некоторые приложения степенных рядов 24
4.1. Приближенное вычисление значений функции 24
4.2. Приближенное вычисление определенных интегралов 26
4.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений 28
Глава II. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 32
§5. Ряды Фурье 32
5.1. Периодические функции. Периодические процессы 32
5.2. Тригонометрический ряд Фурье 35
§6. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций 38
6.1. Теорема Дирихле 38
6.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций 42
6.3. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 44
6.4. Представление непериодической функции рядом Фурье 46
6.5. Комплексная форма ряда Фурье 49
§7. Интеграл Фурье 52
Глава III. Обыкновенные дифференциальные уравнения 58
§8. Дифференциальные уравнения первого порядка 58
8.1.Основные понятия 58
8. 2. Уравнение с разделяющимися переменными 61
8. 3. Однородные дифференциальные уравнения 63
8.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли 66
8.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 70
8.6. Уравнение Лагранжа и Клеро 75
§ 9. Дифференциальные уравнения высших порядков 76
9.1. Основные понятия 76
9.2. Дифференциальное уравнение вида 80
9.3. Некоторые дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 82
9.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 89
9.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка 89
9.6. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка 92
9.7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 93
9.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n- го порядка с постоянными коэффициентами 98
9.9. Некоторые приложения дифференциальных уравнений второго порядка к колебательным процессам 104
Глава IV. Элементы теории функции комплексного переменного 110
§ 10. Функции комплексного переменного 110
10.1. Основные понятия 110
10.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 111
10.3. Основные элементарные функции комплексного переменного 113
10.4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера 120
10.5. Аналитическая функция. Дифференциал 124
10.6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении 127
§ 11. Интегрирование функции комплексного переменного 130
11.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла 130
11.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 135
11.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши 140
§ 12. Ряды в комплексной плоскости 145
12.1. Числовые ряды 145
12.2. Степенные ряды 147
12.3. Ряд Тейлора 150
12.4. Нули аналитической функции 153
12.5. Ряд Лорана 154
12.6. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции 160
§ 13. Вычет функции 165
13.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах 165
13.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов 168
Заключение 172
Литература 173

1.2. Анализ и спецификация ЕГЭ по математике 12
1.3. Методы решения задач на квадратной решетке и координатной плоскости 16
1.4. Теоретические основы для решения задач по планиметрии 21
1.5. Теоретические основы для решения задач по стереометрии 32
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В РАМКАХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ 41
2.1 Анализ школьных учебников 41
2.2 Разработка элективного курса «Практикум решения задач по геометрии» 45
2.3 Апробация 59
Заключение 62
Список литературы 63
Приложение 1. Контрольно-измерительные материалы 67

1.2 Функции и классификация задач в обучении математике 10
1.3 Обучение поиску решения задач 15
1.4 Структура решения задач 18
1.5 Нестандартные методы решения задач в школьном курсе математики 20
Выводы по главе 1 30
2 Функциональный метод решения нестандартных задач 31
2.1 Место изучения функциональной зависимости в школьном курсе математики 31
2.2 Решение задач с использованием свойств функций 32
2.3 Педагогический эксперимент 52
Выводы по главе 2 55
Заключение 59
Список использованной литературы 60
Приложения 63

2. Определитель матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей.
3. Невырожденная и обратная матрица. Ранг матрицы.
4. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
5. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса.
6. Системы линейных однородных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
§2. Элементы векторной алгебры
1. Векторы. Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.
2. Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение скалярного произведения через координаты.
3. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, геометрический смысл, выражение векторного и смешанного произведений через их координаты.
§3. Аналитическая геометрия
1. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Уравнение прямой по двум точкам. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Общее уравнение прямой. Расстояние от произвольной точки плоскости до прямой.
2. Кривые второго порядка.
3. Поверхность и ее уравнение. Виды уравнений плоскости.
4. Виды уравнений прямой в пространстве.
5. Прямая и плоскость в пространстве R3.
6. Поверхности второго порядка.
Заключение
Список литературы