«Повторные и двойные ряды»

(2)

Просуммировав эту таблицу вторично, будем иметь

(3)

Полученный символ и носит название повторного ряда. Если заменить строки столбцами, т. е. Если суммировать члены нашей бесконечной матрицы по столбцам, то мы получим повторный ряд

(4)

Повторный ряд (3) называется сходящимся, если, во-первых, сходится все ряды по строкам (2) (их суммы, соответственно, обозначим через А(к)) и, во –вторых, сходится ряд

его сумма и будет суммой повторного ряда (3). Легко перефразировать все это для ряда (4).

Элементы матрицы (1) можно многими способами представить в виде обыкновенной последовательности

u1, u2,…., ur,… (5)

и по ней составить простой ряд

(6)

Обратно, если имеем обыкновенную последовательность (5), то разбив все её члены на бесконечное множество бесконечных групп, можно её представить различными способами в виде матрицы с двумя входами (1), и по этой матрице составить повторный ряд (3). Естественно встаёт вопрос о связи между рядами (6) и (3), состоящими из одних и тех же членов.

Теорема 1. Если ряд (6) сходится абсолютно к сумме U, то, как бы его члены ни расположить в виде матрицы (1), сходится и повторный ряд (3), причем имеет ту же сумму.

Доказательство. Ряд

(6*)

по предположению, сходится; обозначим эту сумму через U*.

Тогда , прежде всего, при любых n и k,

Например, полагая или , будем иметь соответственно

где -означает число, -сумму делителей n.

6) Разложив же члены иначе без пропусков:

мы сохранили те же суммы по строкам, по столбцам же получим, по порядку: . Таким образом, мы приходим к тождеству, связывающему функции и :

Например, взяв ,где , будем иметь

так что

7) Полученный результат можно обобщить. Пусть даны два степенных ряда

и

Ограничимся значениями x, для которых |x|<1, и оба ряда абсолютно сходятся.

Составим матрицу из элементов Так как (для m>1 и n>1)

mn > m+n, то

Отсюда легко заключить, что двойной ряд, соответствующий взятой матрице, абсолютно сходится. Приравнивая, на основании следствия, суммы повторных рядов, найдём тождество:

Отсюда тождество предыдущего упражнения получается при bm=1, так что .

8) Ряд

получается умножением рядов и , которые (абсолютно) сходятся при |x|<1 и |y|<1; для этих значений (абсолютно) сходится и двойной ряд.

Если |x|>1 или |y|>1, то нарушается необходимое условие сходимости: общий член не стремится к 0, ряд сходится. Легко проверить непосредственно, что расходимость налицо и в случае, если |x|=1 или |y|=1.

9) Рассмотрим ряд

Он также получается умножением рядов и , которые сходятся при и , так что и двойной ряд при этих предположениях сходится.

Наоборот, если (или ), то двойной ряд наверное расходится, ибо тогда расходятся все ряды по строкам (по столбцам).

10) Исследуем сходимость ряда

.

Для этого представим его в виде простого ряда, расположив члены его по диагоналям. Так как члены, лежащие на одной диагонали, равны, то, объединив их для удобства подсчёта, получим ряд

.

Ввиду полученных неравенств

,

деля на , будем иметь

.

Отсюда ясно, что полученный нами простой ряд сходится при и расходится при . По теореме 7, то же справедливо и для двойного ряда.

11) Рассмотрим теперь более сложный ряд

,

где форма Ax2+2Bxy+Cy2 предполагается определённой положительной, так что , а также A и C>0.

Если через L обозначить наибольшее из чисел |A|, |B|, |C|, то, очевидно,

.

В таком случае из 10) ясно, что при наш ряд расходится.

С другой стороны, имеем

,

так что

и, аналогично, .

Отсюда легко получить, что

.

Сопоставляя это с 9), видим, что при рассматриваемый ряд сходится.

12) В теореме 4, вместе с предположением о сходимости двойного ряда, делая особо предположение о сходимости всех рядов по строкам. Следующий простой пример показывает, что без второго предположения обойтись нельзя – оно не вытекает из первого. Двойной ряд по схеме

сходится, его сумма равна 0. между тем все ряды по строкам расходятся.