«Начальные и центральные моменты. Коэффициент асимметрии. Эксцесс. Квантили»

Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста-гуманитария.

Mx = a, Dx = s 2.

Часто используемая запись x ~ N(a, s ) означает, что случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a и s .

Говорят, что случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и s = 1 (x ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид:

Mx = 0, Dx = 1.

Здесь - функция Лапласа.

Функция распределения нормальной величины x ~ N(a, s ) выражается через функцию Лапласа следующим образом: .

Если x ~ N(a, s ), то случайную величину h = (x-a)/s называют стандартизованной или нормированной случайной величиной; h ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение.

Распределение хи-квадрат (c 2- распределение)

Пусть x 1, x 2, …, x n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Составим случайную величину

c 2 = x 12 + x 22 + …+ x n2.

Случайная величина x имеет В-распределение (бета-распределение) с параметрами a1 и a2, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

Распределение Вейбулла

Случайная величина x имеет распределение Вейбулла с параметрами l 0 и a , если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

гамма-функция Эйлера.

Распределение Коши

Случайная величина x имеет распределение Коши с параметрами a и c, если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

У распределения Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Это распределение не имеет ни одного момента положительного порядка.

Гамма-распределение

Совместные распределения нескольких случайных величин.

В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается .

Точнее. На вероятностном пространстве заданы случайные величины ; каждому w W эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).

Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.

Функцией распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством

где .

По известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .

Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:

В дальнейшем будем рассматривать двумерные случайные векторы.

Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника W на плоскости вероятность события равна

Закон больших чисел.

Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений.

Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Названием "закон больших чисел" объединена группа теорем, устанавливающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений и объясняющих причину этой устойчивости.