«Геометрические задачи с решениями ЕГЭ 2016»

4. Точка H лежит на стороне AO треугольника AOM . Известно, что

AH 4 ,

OH 12, A 30, AMH AOM . Найдите площадь треугольника AMH .

5. На стороне CK треугольника CEK отмечена точка M так, что

CM 8, MK 16, CEM

CKE . Найдите площадь треугольника EMC , если C 60.

6. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна наль трапеции.

7. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 2

наль трапеции.

, а основания равны 3 и 4. Найдите диаго-

15 , а основания равны 5 и 8. Найдите диаго-

8. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O , причем

AO 3OC . Площадь треугольника AOD равна 36. Найдите площадь трапеции.

9. Диагонали трапеции KMPT с основаниями MP и KT пересекаются в точке C . Площадь тре-

угольника MCP равна 4,

KT 2MP . Найдите площадь трапеции.

10. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если из- вестно, что боковая сторона трапеции равна 10.

11. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона 9, а диагональ 11. Найди- те меньшее основание трапеции.

12. Площадь треугольника АВС равна 20 3 . Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5. (Демовариант_03)

13. Найти площадь треугольника КМР, если сторона КР равна 5, медиана РО равна 3 √2, КОР = 135.

14. В треугольнике ВСЕ медиана ВМ равна 3, СЕ = 4 √2, ВЕ = 5. Найти сторону ВС.

15. В трапеции КМРТ с основаниями МР и КТ диагонали пересекаются в точке С. Площадь тре- угольника МСР равна 4, КТ = 2 МР. Найти площадь трапеции.

16. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60, а площадь равна 24

окружность. Найдите радиус этой окружности.

3 , вписана

17. В равнобедренной трапеции основания равны 9 и 15, диагональ перпендикулярна боковой сто- роне. Найти площадь трапеции.

18. Диагонали трапеции АВСD (АВ || СD) пересекаются в точке М. Площадь треугольника АDМ равна 12, DМ = 2 ВМ. Найти площадь трапеции.

19. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3 2 , ВС = 10, МАС = 45.

20. Дан ромб АВСD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ ВD в точке К. найдите длину отрезка СК.

21. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В проведена высота ВН к стороне АD. Она пересекает диагональ АС в точке М. Сторона ромба равна 15, а его площадь равна 135. Найдите площадь тре- угольника АМН.

22. В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите площадь треугольника АВТ.

23. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 90, а боковая сторона равна 10

. К осно-

ванию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь СКН.

24. Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее ос- нование АD равно 15, синус угла ВАС равен 1 , синус угла АВD равен 5 .

3 9

25. Найти площадь равнобедренной трапеции, если её средняя линия равна 4, а косинус угла между

2

диагональю и основанием равен .

5

26. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равная 13, образует с основанием

2

угол, косинус которого равен .

13

27. Равнобедренная трапеция описано около окружности радиуса 3 большем основании трапеции, если её средняя линия равна 15.

. Найдите тангенс угла при

28. Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 3,

3

если тангенс угла при основании трапеции равен .

29. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК.

30. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20. К основанию АС и стороне ВС проведе- ны высоты ВD и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника ВКН, если АН = 4

.

31. Сторона правильного шестиугольника равна вильного треугольника.

. Найдите сторону равновеликого ему пра-

6

32. Сторона правильного треугольника равна 6

го шестиугольника.

6 . Найдите сторону равновеликого ему правильно-

33. В параллелограмме АВСD биссектриса угла С пересекает сторону АD в точке К. Найдите пери- метр треугольника ВСК, если DМ = 12, СМ = 15, АМ = 16.

34. (ДВ)Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 323. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если точки М, Р и К − середины сторон AB, CD, EF соответственно.

35. Точка М лежит на стороне АВ треугольника АВС. Известно, что АМ = 2, ВМ = 16, А = 30,

АСМ = АВС. Найти площадь треугольника АМС.

36. Точка К лежит на стороне ВС треугольника АВС. Известно, что ВК = 1, КС = 15 , В = 30,

ВАК = АСК. Найти площадь треугольника ВАК.

37. В трапеции АВСD диагональ АС является биссектрисой угла А. Биссектриса угла В пересекает большее основание АD в точке Е. Найдите высоту трапеции, если С = 18 10, ВЕ = 6 10.

38. В выпуклом четырехугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а тангенс угла при

2

вершине М равен

. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон NL и MQ, если из-

3

вестно, что сторона LQ втрое меньше стороны MN и на 2 меньше стороны NL.

39. Высота равнобедренной трапеции равна 12; её средняя линия равна 16. Найти периметр трапеции, если известно, что её диагональ перпендикулярна боковой стороне.

40. (ДВ) В трапеции ABCD диагональ АС является биссектрисой угла А. Биссектриса угла В пересе- кает большее основание AD в точке Е. Найдите высоту трапеции, если АС = 85,

ВЕ = 45.

41. (Реальный экзамен) В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр параллелограмма, если DК = 12, РК = 18, ВР = 15.

42. (ДВ) На стороне ВА угла АВС, равного 30, взята точка D, что АD = 2 и ВD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС.

43. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD : DC = 1: 2. Медиана CE пере- секает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь тре- угольника AEF.

II. Тематический сборник задач

1.1. Треугольник

1.1.1. Площадь треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами.

1.1.2. В треугольнике OBH точка M делит сторону OB на отрезки OM 4 и МВ = 28, ОНМ = 

ОВН. Найдите площадь треугольника OHM , если O 45.

1.1.3. Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30, а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на

расстоянии 2

3 от основания.

1.1.4. Точка H лежит на стороне AO треугольника AOM . Известно, что

AH 4 , ОН = 12, А = 30

OH 12, A 30, AMH AOM . Найдите площадь треугольника AMH .

1.1.5. На стороне CK треугольника CEK отмечена точка M так, что СМ = 8, МК = 16,

CEM CKE . Найдите площадь треугольника EMC , если C 60.

1.1.6. (Свойство равнобедренного треугольника, средняя линия треугольника)

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СD. Прямая, перпендикулярная СD и проходящая через D, пересекает АС в точке Е. (ГИА ТВ № 6 от А. Ларина)

1.1.7.(Средняя линия треугольника, теорема Фалеса)

Точки К и L лежат на стороне АС треугольника АВС. Прямые ВК и ВL пересекая медиану АМ, делят её на три равные части. Найти длину стороны АС, если КL = 6.

1.1.8.Найдите величины углов треугольника АВС, если известно, что медиана АМ в 4 раза меньше стороны ВС, а треугольник АВМ – равнобедренный.

1.1.9. Площадь равнобедренного треугольника АВС ( AB =BC ) равна 36. Найдите длину стороны АС,

если BC = √97 .

1.1.10. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу треугольника,

подобного данному, если один из катетов равен 10.

1.1.11. (ЕГЭ-2012) На прямой, содержащей медиану треугольника АВС с прямым углом С, взята точка Е, удалённая от вершины А на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС = 6, AC = 4.

1.1.12.(ГИА)Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30 и 90°.

1.1.13. (ТВ № 9-2012 от А.Л.)Все вершины квадрата лежат на сторонах равнобедренного треугольника АВС, основание АС которого равно 12, а боковая сторона АВ равна 10. Найдите сторону квадрата.

1.1.14.(ТВ №10 2012 от А.Л.) В равнобедренном треугольнике АВС на прямой ВС отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

1.1.15. (ТВ№37-2013, А. Ларин.) В равнобедренном треугольнике АВС на прямой ВС отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

1.2.6. (2010г.) В треугольнике ABC на стороне ВС выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана СЕ пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника AEF?

1.2.7. В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90) медианы СС1 и ВВ1 перпендикулярны друг

другу. Найдите длину большей из этих медиан, если длина третьей медианы АА1 = 3 .

1.2.8. Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части 5 м и 7 м. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника?.

1.2.9. Точки К и L лежат на стороне АС треугольника АВС. Прямые ВК и ВL пересекая медиану АМ, делят её на три равные части. Найти длину стороны АС, если КL = 6.

1.2.10. В треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. Известно, что МН = 3

а площадь

треугольника AMH равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

1.3. Биссектриса треугольника

ВН 2

1.3.1.В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите площадь треугольника АВТ.

1.3.2. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 90, а боковая сторона равна 10 . К

основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь СКН.

1.3.3. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты ВD и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника ВКН, если

АН = 4 .

1.3.4. (, 2010г) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и СЕ. Найдите длину отрезка DE, если

АС = 6, АЕ = 2, CD = 3.

1.3.5. В треугольнике АВС, площадь которого S, биссектриса СЕ и медиана BD пересекаются в точке

F. Найдите площадь четырехугольника ADEF, если ВС = а, АС = b.

1.3.6. (2010) В треугольнике ABC угол А равен α, сторона ВС равна a, Р— точка пересечения биссектрис. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BРC.

1.3.7. В треугольнике АВС длина стороны АВ равна 18, длина биссектрисы АЕ равна 4 15 , а длина отрезка ЕС равна 5. Определите периметр треугольника АВС.

1.3.8. На продолжении биссектрисы AL треугольника АВС за точку А взята такая точка D, что AD = 10, BDC = BAL = 60. Найдите площадь треугольника АВС.

1.3.9. В равнобедренном треугольнике АВС, в котором АВ = ВС = 10, АС = 16, найти расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис.

1.3.10. Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что угол между биссектрисой, проведенной к основанию, и биссектрисой, проведенной к боковой стороне, равен углу при вершине.

1.3.11. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и СЕ. Найдите длину отрезка DE, если АС

= 6, АЕ = 2, СD = 3.

1.3.12. В треугольнике КLM проведены биссектриса КР и высота КH. Известно, что МК = 1

𝑃𝑃𝑃𝑃 = 3 а

площадь треугольника KHP равна 30. Найдите площадь треугольника KLM.

По теореме синусов 2R = АС

= АС , R = АС .

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

2)H – точка пересечения высот АВС, О1 – центр

окружности, описанной около АНС, а R1 – радиус

описанной около этого треугольника окружности. Тогда 2R1 =

АС ;

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠Н

3)В четырёхугольнике НКВР К = Р = 90,

тогда Н + РВК = 180, Н = 180- РВК = 180- 

2R1 =

АС =

АС

, R1 =

АС .

sin(180°−𝑠𝑠)

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Получили, что R = АС

2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

= R1 .

ОПОРНАЯ ЗАДАЧА № 1

D и E основания высот АD и СЕ АСВ. Доказать, что АВС DEВ Доказательство

1 способ: В – острый. Так как точки D и Е – основания высот, то АСD и АСЕ - можно вписать в окружность с диаметром АС.

DAC = DEC – как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CD.

DCА = 90- DAC; DEВ = 90- DEC DCА = DEВ и 

ВDE = ВАC АВС DEВ по двум углам.

2 способ: АВЕ и АDВ - прямоугольные, cos B = ВЕ

В𝐶𝐶

= В𝐷𝐷 . Тогда по углу В и двум

ВА

пропорциональным сторонам АВС DEВ

1.4.1.Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

1.4.2. (2010) Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что СН = АВ. Найдите угол

АСВ.

1.4.3. Точки А1 , В1, и С1 – основания высот треугольника АВС. Углы треугольника А1 В1 С1 равны 90, 60, 30. Найдите углы треугольника АВС.

1.4.4. Точки D и E – основания высот непрямоугольного треугольника АВС, проведенных из вершин А

DE

и С соответственно. Известно, что

= к, ВС = а и АВ = b. Найдите сторону АС.

AC

1.4.5. (2010) В треугольнике ABC угол А равен α, сторона ВС равна а, Н — точка пересечения высот. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВНС.

1.4.6. (Свойство высот, подобие треугольников) В равнобедренном треугольнике АВС со сторонами АВ = ВС = 4 и АС = 2 проведены высоты АА1 и ВВ1. прямая А1В1 пересекает прямую АВ в точке К. Найдите длину АК.

1.4.7. (Опорная задача, свойство высот) В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18,

площадь треугольника ВРQ равна 2, а длина отрезка РQ равна 2 описанной около треугольника АВС.

. Вычислить радиус окружности,

1.4.8. В остроугольном треугольнике РQR, сторона PR которого равна 12, на стороны QR и PQ опущены высоты PM и RN. Вычислить площадь четырехугольника PNMR, если известно, что площадь треугольника NQM равна 2, а радиус окружности, описанный около треугольника PQR

равен .

2

1.4.9. Отрезок H1 H2 , соединяющий основания H1 и H2 высот AH1 и BH2 треугольника АВС, виден из середины М стороны АВ под прямым углом. Найдите угол С треугольника АВС.

1.4.10. AА1 , BВ1 и CС1 – высоты треугольника АВС . Угол А1 треугольника А1 В1 С1 равен 360 , а угол В1 треугольника А1 В1 С1 равен 840 . Найдите угол С треугольника АВС .

1.4.11. (ТВ№28-2013, А. Ларин.) Найти длины сторон АВ и АС треугольника АВС, если ВС = 8, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4.

2.1. Параллелограмм

2.1.1. (Реальный экзамен) В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр параллелограмма, если DК = 12, РК = 18, ВР = 15.

2.1.2. В параллелограмме АВСD биссектриса угла С пересекает сторону АD в точке М и пря- мую АВ в точке К. Найдите периметр треугольника ВСК, если DМ = 12, СМ = 15, АМ = 16.

2.1.3. (2010) В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = b и BAD= Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

2.1.4. (2010) В параллелограмме со сторонами а и b и острым углом α проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного этими биссектрисами.

2.1.5. Дан параллелограмм АВСD, AB = 2, BC = 3, A = 60. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины од- ного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника АВОD.

2.1.6. В параллелограмме АВС биссектрисы углов при сторона АD делят сторону ВС точками М и N так, что ВМ : МN = 3 : 8. Найдите ВС, если АВ = 5.

2.1.7. Внутри параллелограмма АВСD взята точка К, равноудаленная от прямых АD, АВ, СD. Перпендикуляр, опущенный из вершины D на сторону АВ, пересекает отрезок АК в точке М. Найдите площадь параллелограмма, если DК = 2 см, АМ : МК = 8 : 1, DС = 3 ВС.

2.1.8. Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60. На двух его противопо- ложных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные тре- угольники с углами 120при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

2.1.9. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, длина диагонали ВD равна

12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АОD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника АОВ, равен 5. Найдите площадь параллелограмма АВСD

2.1.10. Найти площадь параллелограмма АВСD со сторонами АВ = 2 и ВС = 3, если диагональ АС перпендикулярна отрезку ВЕ, соединяющему вершину В с серединой стороны АD .

2.1.11. Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60°. На двух его противопо- ложных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные тре- угольники с углами 120° при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.