«Математические методы в психологии ВАРИАНТ-6»

6, 5, 5, 4, 6, 3, 3, 4, 8, 3, 4, 6, 10, 9, 8, 9, 8, 6, 5

№2. Среди учеников 6, 7, 8, 9, 10-х классов средней школы методом тестирования определялся уровень общительности. Можно ли утверждать, что при переходе из одного класса в другой общительность учеников возрастает?

Код учащегося 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс

1 10 11 12 16 18

2 9 9 10 15 26

3 12 11 8 17 17

4 7 9 10 21 20

5 8 9 11 15 17

№3. Изучались ценностные ориентации студентов первокурсников. Для изучения ценностных ориентаций использовали методику Ш.Шварца. Насколько индивидуальный профиль студента коррелирует с усредненным профилем.

Значения для типов ценностных ориентаций

Типы ценностей Усредненные оценки Индивидуальное значение студентки В

Конформность 2,96 3,2

Традиции 2,49 4

Щедрость 3,87 4,4

Универсализм 3,01 3,7

Самостоятельность 3,81 5,4

Стимуляция 4,16 2,7

Гедонизм 4,14 2,3

Достижения 4,31 5

Власть 2,95 3

Безопасность 3,71 4,8

В психологических исследованиях чаще всего ссылаются на нормальное распределение.

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине – достаточно часто. Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречалось в естественно-научных исследованиях и казалось "нормой" всякого массового случайного проявления признаков. Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции. График нормального распределения представляет собой привычную глазу психолога-исследователя так называемую колоколообразную кривую (см. рис.1).

Рисунок 1. Кривая нормального распределения

Нормальное распределение выражается следующей формулой:

где fотн. – относительные частоты появления каждого конкретного значения случайной величины хi. Предполагается, что переменная хi, может принимать бесконечно большие и бесконечно малые значения, количество измерений бесконечно, а интервал квантования мал.

По этой формуле при различных значениях среднего арифметического (М) и стандартного отклонения (σ) получается семейство нормальных кривых.

Нормальное распределение имеет колоколообразную форму, асимптотически приближается к оси X (то есть может принимать сколь угодно малые значения по ординате при стремлении икс-значений к плюс или минус бесконечности), значения моды, медианы и среднего арифметического равны между собой.

Свойством нормальных распределений является наличие определенного количества случайной величины (случаев, испытуемых), приходящегося на интервалы между значениями σ, обычно это количество измеряют в процентах от общего числа случаев, испытуемых. Считается, что нормальное распределение характеризует такие случайные величины, на которые воздействует большое количество разнообразных факторов, причем сила воздействия одного отдельно взятого фактора значительно меньше суммы воздействий остальных факторов. В результате получается, что чаще наблюдаются некоторые средние значения измеряемого параметра, реже крайние, и чем сильнее отличается какое-то значение от среднего, тем реже оно встречается. Многие биологические параметры распределены подобным образом (рост, вес и т.п.). Психологи полагают, что большинство психологических свойств, качеств (интеллект, свойства личности и т.п.) также имеет нормальное распределение, именно из этой посылки исходят при проведении стандартизации тестовых методик.

Параметры распределения – это его числовые характеристики, указывающие, где "в среднем" располагаются значения признака, насколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака. Наиболее практически важными параметрами являются математическое ожидание (M), дисперсия (D), стандартное отклонение (σ), показатели асимметрии и эксцесса.

В реальных психологических исследованиях мы оперируем не параметрами, а их приближенными значениями, так называемыми оценками параметров. Это объясняется ограниченностью обследованных выборок. Чем больше выборка, тем ближе может быть оценка параметра к его истинному значению. В дальнейшем, говоря о параметрах, мы будем иметь в виду их оценки.

Стандартное отклонение позволяет сказать, что большая часть исследуемой выборки располагается в пределах σ от средней. Статистики показали, что при нормальном распределении «большая часть» результатов, располагающаяся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от средней, в процентном отношении всегда одна и та же и не зависит от величины стандартного отклонения: она соответствует 68% популяции (т.е. 34% ее элементов располагается слева и 34%-справа от средней):

Рисунок 2. Кривая нормального распределения

Рисунок 3. Асимметрия распределений

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней, или отрицательной – более высокие (см. Рис. 3). Для симметричных распределений А=0;

а) положительная, левосторонняя,

б) отрицательная, правосторонняя

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное (см. Рис. 4).

Меры центральной тенденции – характеристики совокупности переменных (признаков) указывающие на наиболее типичный, репрезентативный для изучаемой выборки результат. К мерам центральной тенденции относятся средне арифметическое, мода, медиана.

Среднее определяется по формуле:

х=6+ 5+5+4+ 6+ 3+3+ 4+ 8+ 3+ 4+ 6+ 10+ 9+ 8+ 9+ 8+ 6+ 5/19=5,89

Мода (Мо) – наиболее часто встречаемое значение вариационного ряда.

Варианты определения моды:

1. Если в вариационном ряду лишь одно значение встречается наиболее часто, то мода равна этому значению (варианте).

2. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и эта частота больше частот других значений, то мода вычисляется как средне арифметическое из этих двух значений.

3. Если два наиболее часто встречаемых значения находятся не рядом, между ними есть значение с меньшей частотой встречаемости, то распределение имеет две моды (бимодальное распределение).

Медиана (Ме) – значение вариационного ряда, делящее этот ряд на две равные части, так что количество значений справа от медианы, равно количеству значений слева от медианы.

Медиана рассчитывается по формуле:

где n - количество значений в вариационном ряду.

В нашем случае: N=11+1/2=5

Меры изменчивости – это статистические показатели вариации (разброса) признака (переменной) относительно среднего значения, степени индивидуальных отклонений от центральной тенденции распределения. К мерам изменчивости относятся: вариационный размах, дисперсия, стандартное отклонение.

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле:

ơ=√(6-5,89)2+ (5-5,89)2+( 5-5,89)2+(4-5,89)2+(6-5,89)2+(3-5,89)2+(3-5,89)2+

(4 -5,89)2+(8-5,89)2+( 3-5,89)2+(4-5,89)2+(6-5,89)2+(10-5,89)2+(9-5,89)2+(8-5,89)2+

(9-5,89)2+(8-5,89)2+(6-5,89)2+(5-5,89)2+(7-5)2=2,20

Дисперсия рассчитывается по формуле:

S2=(6-5,89)2+ (5-5,89)2+( 5-5,89)2+(4-5,89)2+(6-5,89)2+(3-5,89)2+(3-5,89)2+

(4 -5,89)2+(8-5,89)2+( 3-5,89)2+(4-5,89)2+(6-5,89)2+(10-5,89)2+(9-5,89)2+(8-5,89)2+

(9-5,89)2+(8-5,89)2+(6-5,89)2+(5-5,89)2+(7-5)2=4,8

Формула асимметрии:

А=(6-5,89)3+ (5-5,89)3+( 5-5,89)3+(4-5,89)3+(6-5,89)3+(3-5,89)3+(3-5,89)3+

(4 -5,89)3+(8-5,89)3+( 3-5,89)3+(4-5,89)3+(6-5,89)3+(10-5,89)3+(9-5,89)3+(8-5,89)3+

(9-5,89)3+(8-5,89)3+(6-5,89)3+(5-5,89)3+(7-5)3=/15*2,203=0,3

Формула эксцесса:

Es=((6-5,89)4+ (5-5,89)4+( 5-5,89)4+(4-5,89)4+(6-5,89)4+(3-5,89)4+(3-5,89)4+

(4 -5,89)4+(8-5,89)4+( 3-5,89)4+(4-5,89)4+(6-5,89)4+(10-5,89)4+(9-5,89)4+(8-5,89)4+

(9-5,89)4+(8-5,89)4+(6-5,89)4+(5-5,89)4+(7-5)4/15*2,20)-3=-1,02

По полигону частот мы видим, что распределение имеет нормальное распределение, поскольку:

1) мода, медиана и средне арифметическое равны или имеют близкие по величине значения;

2) показатели асимметрии и эксцесса равны нулю, As=0 и Еs=0.

3) крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине – достаточно часто, т.е. соблюдается правило трех сигм.