«Методическое обеспечение курса «дифференциальное исчисление»»

Для упрощенного восприятия данный курс предложен в виде презентаций сделанных в PowerPoint.

Для указания того факта, что у есть функция х, пишут:

y=f(x), y=φ(x), y=F(x) и т.п.

Буквы f, φ, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение у, отвечающее заданному значению х.

Наряду с обозначением y=f(x) приняты также следующие обозначения для функции:

f : X Y,

X Y.

Область определения функции f будем обозначать Df.

В качестве области определения X функции f : X Y могут быть следующие промежутки:

1) интервал (a;b): a2) отрезок [a;b]: a x b;

3) полуинтервалы (a;b] или [a;b): a4) [a;+∞): a x<∞;

5) (∞;b): ∞6) (∞;+∞):∞§ 2. Способы задания функций.

Функции можно задать различными способами:

– аналитически;

– графически;

– таблично;

– словесно.

1. Аналитический способ. С помощью формулы.

Пример. а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

В примерах а) и б), в) и г) функции являются разными! В примерах а), г) говорят, что функция рассматривается в естественной области определения.

2. Графический способ. С помощью графика.

В прямоугольной системе координат x, y на оси x отметим отрезок [a;b] и изобразим любую кривую , так что какова бы ни была точка , прямая, проходящая через нее параллельно оси y, пересекает кривую в одной точке А. Кривая называется графиком. График определяет функцию y=f(x) на отрезке [a;b] следующим образом. Если x – произвольная точка отрезка [a;b], то соответствующее значение y=f(x) определяется как ордината точки А (см. рис 1).

Отметим, что графический способ задания функции позволяет определять значения функции лишь приближённо.

3. Табличный способ. C помощью таблицы.

Например, таблица Брадиса значений тригонометрических функций. Или, например, температура Т воздуха каждый час. Тогда каждому моменту времени t=0, 1, 2… 24 соответствовало бы определенное число T в виде таблицы:

t 0 1 2 …

T +18 +17 +15 …

Неудобство его заключается в том, что он даёт значения функции лишь для некоторых значений аргумента.

4. Словесный способ. Или описательный способ.

Например, функция y=E(x), (или [х]) – целая часть переменной х: наибольшее целое число, не превосходящее х (E есть начальная буква французского слова “entier”, обозначающего “целый”). Область существования этой функции есть R, а область её значений состоит только из целых чисел.

Из приведённого определения E(x) следует, что E(x)=m есть такое целое число, что m xГрафик функции y=E(x) имеет вид

Здесь стрелки своими остриями указывают на точки, не принадлежащие графику.

§ 3. Операции над функциями.

Определение. Функции f(x) и φ(x) называются равными, если

1) они имеют одну и ту же область определения,

2) численные значения их, соответствующие одному и тому же значению аргумента, равны.

В этом случае пишут: f(x)=φ(x).

Например, выражения f(x)=lg(x2) и φ(x)=2lg(x), равны, если рассматриваются в интервале (0; +∞);

Однако, эти же выражения, заданные в своих естественных областях определения (т.е. там, где они имеют смысл), различны, т.к. различны их области определения: Df=(∞; 0) (0, +∞), Dφ=(0; +∞).

Рассмотрим функции f1(x) и f2(x). Пусть D1= , D2= , D=D1 D2.

Определение. Функция F(x), определённая на множестве D, называется суммой функций f1(x) и f2(x), если в каждой точке х0 D верно равенство F(x0)=f1(x0)+f2(x0).

Эту функцию F(x) записывают так: F(x)=f1(x)+f2(x).

Аналогично определяется сумма любого конечного числа функций или их произведение, а также разность двух функций или их частное (в последнем случае следует из D исключить нули знаменателя).

9. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справочное пособие к решению задач Изд. 3-е, стереотип.2003.

10. В. М. Тихомиров Дифференциальное исчисление (теория и приложения). Изд-во МЦНМО, 2002.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1, 2, 3.-М.: Высшая школа, 1988.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, т. 1, 2.-М.: Наука, 1982, 1983.

3. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, кн. 1, 2.-М.: Высшая школа, 2000

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.М.: Наука, 1969.

5. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа.-М.: Просвещение, 1966.

6. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.-М.: Просвещение, 1964.

7. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. Задачник по курсу математического анализа.-М.: Просвещение, 1971.