«Элементы теории поля»

Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Лишь в середине 19 в. усилиями ряда учёных было создано векторное исчисление, в котором операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания. Основы векторного исчисления были заложены исследованиями английского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грасмана по гиперкомплексным числам (1844—50). Их идеи были использованы английским физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Современный вид векторному исчислению придал американский физик Дж. Гиббс. Значительный вклад в развитие внесли русские учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа. Исследования казанского математика А. П. Котельникова по развитию винтового исчисления имели важное значение для механики и геометрии. Эти исследования были продолжены советскими математиками Д. Н. Зейлигером и П. А. Широковым. Большое влияние на развитие В. и. имела книга «Векторный анализ», написанная в 1907 русским математиком П. О. Сомовым. [1]

Основной вопрос исследования скалярного поля есть вопрос об изменении функции U при переходе из одной точки пространства в другую. Для выяснения этого вопроса рассмотрим, прежде всего, геометрическое место точек, в которых величина U сохраняет постоянное значение.

Это геометрическое место точек называют поверхностью уровня скалярного поля U. Ее уравнение в выбранной системе координат имеет вид: U(x,y,z) = C, где C = const. Следовательно, изменяя значения C, получаем семейство поверхностей уровня, которые заполняют всю область, где определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям C, не имеют общих точек.

Задание всех поверхностей уровня с указанием соответствующих значений C равносильно заданию самого поля.

Со временем выяснилось, что для количественного описания скорости движения, изменения этой скорости, взаимодействия тел и т.п. скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные математические величины — направленные отрезки, или векторы. Развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в разных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для их математического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во всех точках рассматриваемого объекта. Так в физике постепенно сложилось представление о математическом поле – области пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины.

Поля бывают скалярные и векторные. Каждое из них в свою очередь может быть стационарным (если физическая величина в каждой точке области со временем не меняется) или нестационарным. Введение понятия поля в физике сыграло такую же прогрессивную роль, как в свое время появление в математике переменной величины. [8]